lineares und exponentielles Wachstum

Question

Aufgabe:

Die Tabelle gibt die Bevölkerung der Erde in den letzten Jahrzehnten (in Milliarden) an.

Jahr                                                1960             1970          1980         1990         2000           2010

Bevölkerungszahl ( in Mlrd.)        3,042            3,712         4,453        5,284       6,084          6,831

Ermitteln Sie unter der Annahme eines 1) linearen und 2) exponentiellen Wachstums eine Näherungsformel für die Bevölkerungszahl N(t), wenn 1960 dem Zeitpunkt t=0 und 2010 dem Zeitpunkt t=50 entsprechen soll. Berechnen Sie mit diesen Formeln jeweils die Bevölkerungszahlen für die angegebenen Jahre.

Problem/Ansatz:

1) lineares Wachstum:

N(t)=0,07578*t + 3,042   (Rechenweg: y= mx+ b → m = Δy/Δx => Δy = 6,831-3,042=3,789; Δx= 2010-1960=50

=> (3,789/50)*t + 3,042)

2) exponentielles Wachstum:

N(t)=3,042*1,01631^t

Meine Frage ist jetzt, wie komme ich auf die Zahl 1,01631 in der Näherungsformel für den exponentiellen Wachstum? Bitte den Rechenweg angeben, vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Sei t = 0 das Jahr 1960, man erhält:

N(0) = 3.042  
⇒ N(t) = 3.042 * a^t

N(2010-1960) = 6.831 
⇔ 6.831 = 3.042 * a⁵⁰
⇔ 6.831/3.042 = a⁵⁰
⇔ a = \(\sqrt[50]{6.831/3.042}\) ≈ 1.016311

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Linear

(6.831-3.042)/(50) = 0.07578

f(x) = 3.042 + 0.07578*x

Exponentiell

(6.831/3.042)^(1/50) = 1.016310708

f(x) = 3.042 * 1.016310708^x

Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede in der Berechnung. Die Rechnungen sehen ja durchaus ähnlich aus oder nicht?

Comments

Das stimmt, vielen Dank!