Haupträume einer Matrix berechnen

Question

Aufgabe:ich muss die Haupträume der Matrix A={{3,5,-16,6},{7,2,-17,7},{1,0,-4,1},{-5,-5,15,-8}} bestimmen.

Problem/Ansatz:

ich habe das char. polynom bestimmt x^4 + 7x^3 + 9x^2 - 27x - 54 und die eigenwerte natürlich auch (2,-3,-3,-3).

die eigenvektoren habe ich auch v1= (-1,-1,0,1), v2=(1,2,1,0), v3= (-1,0,0,1)

jetzt müsste ich ja SAS^-1 berechnen um auf den hautpraum zu kommen richtig? wenn ja wie kann ich S berechnen wenn ich da nur drei eigenvektoren habe und wenn nein, wie müsste ich weiter vor gehen? Und wie oben geschrieben steht in der Aufgabenstellung, " bestimme die Haupträume" mehrzahl, heisst das eine Matrix kann mehrere Hauträume besitzen?

Answer 1

v1= (-1,-1,0,1) bildet eine Basis des Kerns von

A - 2*E . Und durch Angabe dieser Basis hast du also diesen Hauptraum

schon mal bestimmt.

Da der andere Eigenwert die algebraische Vielfachheit 3 hat, musst du

für den 2. Hauptraum versuchen einen Basisvektor  von

(A+3E)^2 zu bestimmen, der kein Eigenvektor ist.

 (A+3E)^2  kannst du

umformen zu

 1     1   -3     1
 0     0   0      0
0     0   0      0
0     0   0      0

und einer, der von den Eigenvektoren lin. unabh. ist

ist z.B.

1
-1
0
0

und du bekommst als Basis für diesen Hauptraum

v2=(1,2,1,0), v3= (-1,0,0,1) und v4(1,-1,0,0)

Und die Matrix S ist dann

-1    1     1     -1
 0     2     -1     -1
0      1     0      0
1      0      0      1