Hat jede Matrix einen Hauptraum?

Question

Aufgabe:

Hat jede Matrix einen Hauptraum? wir hatten das Beispiel der Matrix A

0	0	1
1	0	0
1	-1	1

das Charakteristische Polynom ist Pa(t)=(t-1)²*(t+1)

für den Eigenwert t=-1 ist klar Eigenraum gleixh Hauptraum. Für die doppelte Nullstelle (algebraische Vilefachheit) hat ist der Lösungsvektor aber nur (1,1,1) also nicht dimension 2 daher, ist zum einen A nicht diagonalsierbar und zum anderen ist der Eigenraum kein Hauptraum. Wir haben nun Lös((A-E3)^(2),0)
(quadriert) und dann bekommen wir noch einen Vektor wodurch nun die Dimension 2 erzeugt wird, da nun 2x linear unabhängige Vektoren im Eigenraum sind, also ist er Hauptraum.

Problem/Ansatz:

Meine Frage: ist das jetzt ein Hauptraum von A oder wäre das ein Hauptraum von A?

LG und danke

Answer 1

Hat jede Matrix einen Hauptraum?

Nein. Die Matrix

        $\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2}$

hat $x^2-2x+2$ als charaktristisches Polynom. Das Poylnom hat keine Nullstellen in $\mathbb{R}$. Also hat die Matrix keine Eigenwerte und somit auch keinen Hauptraum.

Comments

ok witzig haha, aber hat jede Matrix mit Eigenraum einen Hauptraum?

---

Ich finde es überhaupt nicht witzig, dass du dich nicht präzise genug ausdrücken kannst.

Der Hauptraum von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ der algebraischen Vielfachheit $r$ ist der Kern von $(A-\lambda E)^r$.

Wenn $A$ einen Eigenraum hat, dann hat $A$ einen Eigenwert $\lambda$ mit algebraischer Vielfachheit $r$, also auch einen Hauptraum, weil dann $(A-\lambda E)^r$ eine Matrix ist und jede Matrix einen Kern hat.

---

danke, das heißt wenn ich im konkreten Beispiel als Eigenraum nur einen Vektor habe ist der Hauptraum das quadrat des Kerns (wegen algebraischer Vielfachheit 2) und wenn der eigenraum die dimension 2 hätte, dann müsste auch das quadrat nur linear abhängige Vektoren zum Eigenraum erzeugen oder?