Hauptraum einer Matrix, und andere Fragen zu Linearen Algebra II

Question

Ich habe Probleme/ Unsicherheiten bei folgenden Aufgaben:

1)

Hauptraum von \( A = \begin{pmatrix}  4 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}  \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) berechnen.

Dafür berechne ich zunächst die Eigenwerte von A. Charakteristische Polynom \(  \chi_{A} = (4-x)(3-x)(3-x)-4+x=-x^{3}+10x^{2}-32x +32 \)

Nulstellen davon sind 2 und 4, wobei 4 die doppelte Nullstelle ist.

Eigenvektor zu 2: \(  (A - 2*E)x=0 \Longrightarrow x = \begin{pmatrix}  0\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Da 4 die algebraische Vielfachheit 2 hat muss ich nun \(  (A-4E)^{2}x = 0 \) bestimmen, oder? Meine berechnungen liefern: \(  x = \begin{pmatrix}  0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)

Damit ist dann der Hauptraum = \(  \{ x* \begin{pmatrix}  0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y*\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ -1 \end{pmatrix} | x,y \in \mathbb{R} \} \)

Ist das richtig so?

2)

Vektorraum-Homomorphismus \(f: (\mathbb{F}_{7})^{3} \rightarrow  (\mathbb{F}_{7})^{2} \) angeben so. dass:

\( f(  \begin{pmatrix}  a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}  a_{1} \\ 0 \end{pmatrix}  \) falls \(   a_{1}+ a_{2} + a_{3} = 0 \)

Das wäre doch einfach f(x) = Ax, für eine Matrix A, wie folgt \( A =   \begin{pmatrix}  1&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix} \) oder muss ich hier lieneare unabhängigkeit der Spaltenvektoren fordern?

Comments

ich verstehe  nicht, warum es beim charakteristischen Polynom 32x sind und nicht 33x. (also woher kommt am Ende -4+x )?

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Regel von Sarrus. -1 * -1 * (4-x)

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Oh, Shit! Ja klar, hab einfach 4 statt 4-x genommen.

Jetzt macht es Sinn, hatte nämlich die ganze Zeit komische NST:D

Danke dir !

Answer 1

Zusammenfassung

\(-\left(\lambda - 2 \right) \; \left(\lambda - 4 \right)^{2} = 0\)

EW:={2, 4}

DimEigenraum:={1, 1}

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&2&\left(\begin{array}{rrr}2&1&-1\\0&1&-1\\0&-1&1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&4&\left(\begin{array}{rrr}0&1&-1\\0&-1&-1\\0&-1&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

==>

\(EV=\left(\begin{array}{rr}0&1\\1&0\\1&0\\\end{array}\right)\)

Suche HV ∈ Ker (A-λE)^N mit dim Ker (A-λE)^N = n ∧ HV ¬∈ Ker (A-λE)^N-1

\(\small HVKandidaten1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\\0&1\\\end{array}\right)\)

(A - 4 E) HVKandidaten1

\(\small HV1_2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}0&-2\\0&0\\0&0\\\end{array}\right)\)

==>

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-1&1\\0&1&1\\\end{array}\right)\)

D:=T^(-1) A T

\(\small D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}4&1&0\\0&4&0\\0&0&2\\\end{array}\right)\)