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  ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Bild Mathematik

Ich habe bei der (1) bereits:

g=(1/√(2)* (1,1)^T,  =(1/√(2)* (-1,1)^T)

Und für g^-1Ag = diag(4,16)

bei der 3(a) habe ich für die Matrix B (falls das so richtig ist)

da für A=g*diag(4,16)*g^-1 gilt für B=g*√diag(4,16)*g^-1

Bei der (2) und der 3(b) komme ich nicht weiter.. Wäre nett wenn jemand helfen könnte...

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Ich unterstelle mal, dass \(O_2\) eine 2x2-Orthogonalmatrix ist und \(M_2(\mathbb{R})\) eine 2x2-Matrix mit Elementen aus \(\mathbb{R}\) ist. Aber was ist \(GL_2(\mathbb{R})\) ?

Zu 1) mit

$$g = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \space \in O_2$$

ist

$$g^{-1} \cdot A \cdot g = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ -0,5 & 0,5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 & 6 \\ 6 & 10\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}$$

Also das \(GL_2(\mathbb{R})\) hat mich auch verwirrt. Aber in meinem Skript steht das g=(w1  w2) ∈  \(GL_2(\mathbb{R})\)

mit w sind die durch das gram-schmidt-verfahren normalisierten Vektoren gemeint 

3a ist zwar richtig, ich hätte es aber so begründet. Wenn \( A = B^2 \) gelten soll, folgt

$$ T^t A T = T^t B T T^t B T = (T^t B T)^2 = D = \begin{pmatrix}  4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^2  $$ Also folgt $$  B = T \begin{pmatrix}  4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} T^t = \begin{pmatrix}  3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$

Jetzt musst Du noch für die Abbildung $$ s(v,w) = <v,B w>  $$ nachweisen, dass dies eine positiv definte symmetrische Bilenearform ist

Symmetrie:

$$  <v,B w> = v^t B w = w^t B^t v   =(B w)^t v = <B v,  w> $$

Positiv Definitheit:

$$  <v, B v> = v^t T D T^t v  $$ mit \( D = \begin{pmatrix}  4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}  \) Es gibt  aber eine Matrix \( C \) mit \( C^2 = D \) nämlich \( C = \begin{pmatrix}  2 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}  \)

Also gilt weiter $$  <v, B v> = v^t T C C T^t v = (C T^t v)^t (C T^t v) > 0 $$ für \( v \ne 0 \)

Den Rest kannst Du selber.

1 Antwort

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$$  \text{GL}_n(\mathbb{R})  $$ ist die allgemeine lineare Gruppe, siehe hier
https://de.wikipedia.org/wiki/Allgemeine_lineare_Gruppe

Da die gefunden Eigenvektoren schon orthogonal sind, musst Du die Vektoren nur noch normieren und dann hast Du eine orthonormale Matrix für die gilt \( g'^T = g^{-1} \)

Avatar von 39 k

Also ich habe ja schon gram schmidt angewendet, daraus resultierte: g=(1/√(2)* (1,1)T,  (1/√(2)* (-1,1)T)

Und für die Matrix gilt \( g' = g^{-1} \) und \( g'^T A g' = \begin{pmatrix}  16 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \)

Da wäre ja dann sozusagen die selbe Matrix wie bei der (1)?

Weil D in Teil 1 auch schon die Eigenvektoren normiert hast. Hättest Du aber nicht machen müssen. Z.B. die Matrix \(  T =  \begin{pmatrix}  1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}   \) diagonalisiert die Matrix \( C \) auch. Aber es gilt nicht \( T^{-1} = T^T \)

Ah ok. Ich habe mich da nach einem Beispiel gerichtet, was wir in der Übung gemacht haben. Da haben wir das volle Programm also mit Gram-Schmidt etc. gemacht. Aber meine Variante wäre dann ja sozusagen nicht falsch oder? Ich hätte ja dann nur bereits in der (1) die Vektoren schon normiert.

Also ich brächte noch Hilfe bei der (b).. sofern die (a) richtig ist..

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