3a ist zwar richtig, ich hätte es aber so begründet. Wenn \( A = B^2 \) gelten soll, folgt
$$ T^t A T = T^t B T T^t B T = (T^t B T)^2 = D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^2 $$ Also folgt $$ B = T \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} T^t = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$
Jetzt musst Du noch für die Abbildung $$ s(v,w) = <v,B w> $$ nachweisen, dass dies eine positiv definte symmetrische Bilenearform ist
Symmetrie:
$$ <v,B w> = v^t B w = w^t B^t v =(B w)^t v = <B v, w> $$
Positiv Definitheit:
$$ <v, B v> = v^t T D T^t v $$ mit \( D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) Es gibt aber eine Matrix \( C \) mit \( C^2 = D \) nämlich \( C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \)
Also gilt weiter $$ <v, B v> = v^t T C C T^t v = (C T^t v)^t (C T^t v) > 0 $$ für \( v \ne 0 \)
Den Rest kannst Du selber.