Zeige, dass für jede nicht symmetrische Matrix gilt, ...

Question

Aufgabe:

Zeige, dass für jede Matrix A^nxm gilt, dass A^TA und AA^T die selben nichtnull Eigenwerte haben ?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass A^TA und AA^T symmetrisch sind, das bedeutet ich könnte die Gleichung als Betracht ziehen und damit arbeiten aber weiß leider nicht wie : A^TAx = λx

Answer 1

Sei \( \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m, n} \) Zuerst zeigen wir, dass alle Eigenwerte \( (\neq 0) \) von \( \mathbf{A}^{\top} \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n, n} \) auch Eigenwerte von \( \mathbf{A} \mathbf{A}^{\top} \) sind.
\( \mathbf{A}^{\top} \mathbf{A} \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} \Longleftrightarrow \mathbf{A} \mathbf{A}^{\top}(\mathbf{A} \mathbf{v})=\mathbf{A} \lambda \mathbf{v}=\lambda(\mathbf{A} \mathbf{v}) \Longleftrightarrow \mathbf{A} \mathbf{A}^{\top} \mathbf{y}=\lambda \mathbf{y} \)
mit \( \mathbf{y}=\mathbf{A v} \). Die Gegenrichtung ist ähnlich, nämlich
\( \mathbf{A} \mathbf{A}^{\top} \mathbf{u}=\lambda \mathbf{u} \Longleftrightarrow \mathbf{A}^{\top} \mathbf{A}\left(\mathbf{A}^{\top} \mathbf{u}\right)=\mathbf{A}^{\top} \lambda \mathbf{u}=\lambda\left(\mathbf{A}^{\top} \mathbf{u}\right) \Longleftrightarrow \mathbf{A}^{\top} \mathbf{A} \mathbf{y}=\lambda \mathbf{y} \)
\( \operatorname{mit} \mathbf{y}=\mathbf{A}^{\top} \mathbf{u} \)