Differenzenquotient numerisch berechnen

Question

Liebe Mathematiker,

wir sollen ein kleines Programm schreiben, das die Ableitung mittels des Differenzenquotienten bestimmt. Dazu habe ich Folgendes berechnet:

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$Mein "Kollege" hat folgende Form genutzt:

$$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$Wir haben dann unsere Programme mit h=0,001 und mit verschiedenen Funktionen erprobt und festgestellt, dass die zweite Variante immer genauer war als die erste Variante. Jetzt fragen wir uns, ist das Zufall oder kann man das mathematisch erklären?

Wer kann mich erleuchten?

Answer 1

Aloha :)

Erleuchten kann ich dich nicht, das ist nicht mein Fachgebiet. Ich kann es aber mit einer mathematischen Erklärung probieren. Du kannst die Funktion $f(x)$ in eine Taylorreihe entwickeln:
$$f(x\pm h)=f(x)\pm f'(x)\cdot h+\frac{1}{2}f''(x)\cdot h^2\pm O(h^3)$$

Das kannst du in die erste Variante einsetzen:
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\left[f(x)+f'(x)\,h+\frac{1}{2}f''(x)\,h^2+O(h^3)\right]-f(x)}{h}$$$$=\frac{f'(x)\,h+\frac{1}{2}f''(x)\,h^2+O(h^3)}{h}=f'(x)+\frac{1}{2}f''(x)\,h+O(h^2)=f'(x)+O(h)$$

Und du kannst das in die zweite Variante einsetzen:
$$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{h}$$$$=\frac{\left[f(x)+f'(x)\,h+\frac{1}{2}f''(x)\,h^2+O(h^3)\right]-\left[f(x)-f'(x)\,h+\frac{1}{2}f''(x)\,h^2-O(h^3)\right]}{h}$$$$=\frac{2f'(x)\,h+O(h^3)}{2h}=f'(x)+O(h^2)$$

In der ersten Variante ist die Abweichung $O(h)$, in der zweiten Variante ist sie $O(h^2)$. Da $h\ll1$ ist der Fehler bei der zweiten Variante wesentlich geringer als bei der ersten Variante.

Answer 2

Ich habe mir das so überlegt, es gilt offensichtlich:$$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} =\frac{1}{2}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \frac{f(x)-f(x-h)}{h}\right)$$ Das arithmetische Mittel konvergiert beim Grenzübergang schneller

Answer 3

Ich versuche es mal anschaulich:

Beispiel mit x=1 und h=0.5

Die Tangente (violett) verläuft fast parallel zur Geraden (hellblau) deines Kollegen, während deine Gerade (grün) steiler verläuft.