Konvergent, divergent, beschränkt: Bsp. dn := n^3 / (2n über n) und an := (3^n - 5n^3 + 1) / (2*3^n + n^5 + n^2)

Question

Könnt ihr mir erklären wie man berechnet ob eine Folge divergent, konvergent bzw. beschränkt ist?

Habe hier mehrere Beispiele:

a_n := (3ⁿ - 5n³ + 1) / (2*3ⁿ + n⁵ + n²)

b_n := (-1)ⁿ * ((n+2) / 2n² -1))

c_n := (100n über n²)

d_n := n³ / (2n über n)

 

Danke schonmal  

Comments

Was meinst du mit 'über'.

Bei Binomialkoeffizienten müsste oben eine grössere Zahl stehen als unten.

Ist hier die fehlende Klammer?

b_n := (-1)ⁿ * ((n+2) / (2n² -1))

So wäre

b_n := (-1)ⁿ * ((n+2) / 2n² -1))

=  (-1)ⁿ * ((1/n+2/n^2) / (2 -1/n^2))

für n gegen unendlich

= ±1 (0+0)/(2-0) = 0

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Also das steht da so:

(2n)

(n)

Wenn man jetzt die obere mit der unteren           zusammenfügt


und genau, da hab ich klammer vergessen

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 (100n über n²) wäre

für n=100

 (100*100 über 100²) = 1

Aber dann muss man ja die Definition erweitern:

(100*101 über101^2) =?

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Also ich hab jetzt ein paar Übungsaufgaben rausgesucht und das stand genau so da

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ok. Dann gibt's bei c) ab n=101 immer Null

vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28100*101+choose+101%5E2%29

D.h. der Grenzwert von c) ist Null.

Answer 1

ok. Dann gibt's bei c) ab n=101 immer Null

vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28100*101+choose+101%5E2%29

D.h. der Grenzwert von c) ist Null.

Konvergente Folgen, die überall definiert sind, sind immer beschränkt. Nur bei divergenten folgen musst du das genauer untersuchen.

Bei (an) ist der Grenzwert 1/2. Da muss man nur die Summanden 3ⁿ und 2*3ⁿ behalten, da sie im Verhältnis zum Rest immer wichtiger werden.

Du könntest folgendermassen umformen:

a_n := (3ⁿ - 5n³ + 1) / (2*3ⁿ + n⁵ + n²) = (1 - 5n^3/3^n + 1/3^n)/(2 + n^5/3^n + n^2/3^n)

( dn) Geht gegen 0.

Da (2n tief n) für grosse n viel grösser wird als n^3.

vgl. hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=n%5E3+%2F+%282n+choose+n%29

Du solltest zur Aschätzung von (dn) auf Ungleichungen/Gleichungen aus der Vorlesung zurückgreifen.