Koeffizienten einer trig. Fkt. 4. Grades

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Aufgabe } 2\left(4 \text { Punkte) Die durch } f(t)=(\cos (2 t)-\mathrm{i} \sin (2 t))^{2}, t \in \mathbb{R}, \text { angegebene Funktion ist }\right.} \\ {\text { ein trigonometrisches Polynom vom Grad } 4 \text { und lässt sich darum in der Form }} \\ {\qquad f(t)=\sum_{k=-4}^{4} c_{k} \mathrm{e}^{k i t}} \\ {\text { sowie in der Form }} \\ {\qquad f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{j=1}^{4}\left(a_{j} \cos (j t)+b_{j} \sin (j t)\right), \quad t \in \mathbb{R}} \\ {\text { mit (gegebenenfalls komplexwertigen) Koeffizienten } c_{k} \text { bzw. } a_{j}, b_{j} \text { darstellen. }} \\ {\text { Geben Sie alle Koeffizienten } c_{k} \text { für }-4 \leq k \leq 4 \text { sowie } a_{0} \text { und } a_{j}, b_{j} \text { für } 1 \leq j \leq 4 \text { an. }}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Gibt es bei  trig  n Trick um an die Koeffizienten zu kommen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Koeffizienten einer trig. Fkt. 4. Grades

Stichworte: trigonometrie,reihen,analysis

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text {  } \left(\text { ) Die durch } f(t)=(\cos (2 t)-\mathrm{i} \sin (2 t))^{2}, t \in \mathbb{R}, \text { angegebene Funktion ist }\right.} \\ {\text { ein trigonometrisches Polynom vom Grad } 4 \text { und lässt sich darum in der Form }} \\ {\qquad f(t)=\sum_{k=-4}^{4} c_{k} \mathrm{e}^{k i t}} \\ {\text { sowie in der Form }} \\ {\qquad f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{j=1}^{4}\left(a_{j} \cos (j t)+b_{j} \sin (j t)\right), \quad t \in \mathbb{R}} \\ {\text { mit (gegebenenfalls komplexwertigen) Koeffizienten } c_{k} \text { bzw. } a_{j}, b_{j} \text { darstellen. }} \\ {\text { Geben Sie alle Koeffizienten } c_{k} \text { für }-4 \leq k \leq 4 \text { sowie } a_{0} \text { und } a_{j}, b_{j} \text { für } 1 \leq j \leq 4 \text { an. }}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Gibt es bei  trig  n Trick um an die Koeffizienten zu kommen?

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Warum so ungeduldig?

Answer 1

Es gilt \( (\cos(2t) - i \sin(2t))^2 = e^{-4it} \) Jetzt noch dran denken das gilt \( e^{i\varphi} = \cos(\varphi) +i \sin(\varphi) \), dann solltest Du zum Ziel kommen.

Comments

also koeff für -4 1 und Rest 0 ?