Aufgabe:
Gegeben seien das bestimmte Integral \( I \) und die erste Ableitung \( f_{k}^{\prime}(x) \) an einem Punkt \( x_{0}=\frac{\pi}{4} \).
\( I=\int \limits_{0}^{\pi} f_{k}(x) \mathrm{d} x=\frac{4}{3} \quad \& \quad f_{k}^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3 \sqrt{2}}{4} \)
Welche Funktion \( f_{k} \) mit \( k \in \mathbb{N} \) ist gesucht?
\( f_{1}(x)=\cos ^{3}(x) \)
\( f_{3}(x)=\sin ^{3}(x) \)
\( f_{2}(x)=\cos ^{3}(x)-\sin ^{3}(x) \)
\( f_{4}(x)=\cos ^{3}(x)+\sin ^{3}(x) \)
Hinweis: \( \cos ^{3}=\frac{1}{4} \cdot(3 \cos (x)+\cos (3 x)) \quad \& \quad \sin ^{3}=\frac{1}{4} \cdot(3 \sin (x)-\sin (3 x)) \).
Problem/Ansatz:
Wie löse ich die Aufgabe.?
