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Konvergenzkriterium für Teilfolgen
Um zu zeigen, dass eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) genau dann gegen \(a \in \mathbb{R}\) konvergiert, wenn beide Teilfolgen \((a_{2n})_{n \in \mathbb{N}}\) und \((a_{2n-1})_{n \in \mathbb{N}}\) gegen \(a\) konvergieren, betrachten wir zwei Richtungen der Äquivalenz:
1. Zeige, dass wenn \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) gegen \(a\) konvergiert, dann konvergieren auch die Teilfolgen gegen \(a\).
Angenommen, \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) konvergiert gegen \(a\). Das bedeutet per Definition der Konvergenz, für jedes \(\varepsilon > 0\), existiert ein \(N \in \mathbb{N}\), sodass
\(
|a_n - a| < \varepsilon
\)
für alle \(n \geq N\). Diese Bedingung gilt für sämtliche \(n\), einschließlich \(n = 2k\) und \(n = 2k-1\) für \(k \in \mathbb{N}\). Daher erfüllen sowohl die Teilfolge von geraden Indizes \((a_{2n})_{n \in \mathbb{N}}\) als auch die Teilfolge von ungeraden Indizes \((a_{2n-1})_{n \in \mathbb{N}}\) die Konvergenzbedingung gegen \(a\), wenn die gesamte Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) gegen \(a\) konvergiert.
2. Zeige, dass wenn die Teilfolgen \((a_{2n})_{n \in \mathbb{N}}\) und \((a_{2n-1})_{n \in \mathbb{N}}\) gegen \(a\) konvergieren, dann konvergiert auch die gesamte Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) gegen \(a\).
Wir nehmen an, dass sowohl \((a_{2n})_{n \in \mathbb{N}}\) als auch \((a_{2n-1})_{n \in \mathbb{N}}\) gegen \(a\) konvergieren. Das bedeutet, für jedes \(\varepsilon > 0\), existieren \(N_1, N_2 \in \mathbb{N}\), sodass
\(
|a_{2n} - a| < \varepsilon \quad \text{für alle}\; n \geq N_1
\)
und
\(
|a_{2n-1} - a| < \varepsilon \quad \text{für alle}\; n \geq N_2.
\)
Wir wählen \(N = \max(2N_1, 2N_2 - 1)\). Für jedes \(n \geq N\), wenn \(n\) gerade ist, dann \(n \geq 2N_1\), und wir haben \(|a_n - a| < \varepsilon\), und wenn \(n\) ungerade ist, dann \(n \geq 2N_2-1\), und wir haben ebenfalls \(|a_n - a| < \varepsilon\).
Durch diese Überlegung haben wir gezeigt, dass unabhängig davon, ob \(n\) gerade oder ungerade ist, die Bedingung der Konvergenz gegen \(a\) für alle \(n \geq N\) erfüllt ist, vorausgesetzt, die Teilfolgen konvergieren jeweils gegen \(a\). Daher konvergiert die gesamte Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) gegen den gleichen Grenzwert \(a\).
Zusammenfassend haben wir bewiesen, dass eine Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) genau dann gegen einen Grenzwert \(a\) konvergiert, wenn sowohl die Teilfolge der geraden Indizes als auch die Teilfolge der ungeraden Indizes gegen den gleichen Grenzwert \(a\) konvergieren.
