Quantoren in Kombination. Welche Aussagen sind wahr? ∀x∃y : x=y+1; ∀y∃x : x ²<y; ∀x : x²≥1 ⇒ x≥1; ∀x : (x+1)² >0⇔x≠−1

Question

Aufgabe:

x und y sind reelle Zahlen.

1. ∀x∃y : x=y+1

2. ∀y∃x : x ²<y

3. ∀x : x²≥1 ⇒ x≥1

4. ∀x : (x+1)² >0⇔x≠−1

Negation der wahren Aussagen bilden

Widerlegung der falschen Aussagen mit einem Gegenbeispiel

Problem/Ansatz:

Bräuchte Hilfe bei der Negation der wahren Aussagen und den Gegenbeispiele

Comments

Kann es nicht mehr bearbeiten. Wollte fragen ob, die Negationen von 1. und 2. so stimmen.

1. ∃x∀y: x≠y+1

2. ∃x∀y : x²≥y

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Die Negationen sind richtig.

Answer 1

Aloha :)

Ich muss noch kurz antworten, weil die Hälfte von Rolands Antworten falsch ist:

1. ∀x∃y : x=y+1

ist wahr, wähle \(y=x-1\).

2. ∀y∃x : x ²<y

Ist falsch, für \(y=-1\) gibt es kein solches \(x\).

3. ∀x : x²≥1 ⇒ x≥1

ist  falsch, aus \(x^2=1\) folgt \(x=\pm1\) und \(-1\not\ge1\).

4. ∀x : (x+1)² >0⇔x≠−1

ist wahr, \((x+1)^2\) ist immer \(\ge0\) und es ist \(=0\) genau dann, wenn \(x=-1\).

Answer 2

1. ∀x∃y : x=y+1 wahr

2. ∀y∃x : x ²<y falsch

3. ∀x : x²≥1 ⇒ x≥1 falsch

4. ∀x : (x+1)² >0⇔x≠−1 wahr

Comments

Warum soll Aussage 2 wahr sein?

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Falls \( y = -1 \) gilt, gibt es kein \( x \) mit \( x^2 < -1 \)

Falls \( (x+1)^2 > 0 \) gilt, folgt \(  x+1 \ne 0 \) also \( x \ne -1 \). Und wenn \( x \ne -1 \) gilt folgt \( x+1 \ne 0 \) also \( (x+1)^2 > 0 \)

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@Roland

Bevor du 4)  auch noch korrigierst (wie 2)) solltest wohl du wenigstens die hinweisenden Kommentare von Spacko und ullim bestätigen. Ersterer erscheint zur Zeit - zu Unrecht - ziemlich sinnlos.

Answer 3

Negation der wahren Aussagen bilden

¬∀x φ(x) ≡ ∃x ¬φ(x)

¬∃x φ(x) ≡ ∀x ¬φ(x)

¬(φ(x) ∧ ψ(x)) ≡ ¬φ(x) ∨ ¬ψ(x)

¬(φ(x) ∨ ψ(x)) ≡ ¬φ(x) ∧ ¬ψ(x)

¬(φ(x) ⇒ ψ(x)) ≡ φ(x) ∧ ¬ψ(x)

¬(φ(x) ⇔ ψ(x)) ≡ φ(x) ⇔ ¬ψ(x)

Damit kannst du zum Beispiel ∀x: ((x+1)²>0 ⇔ x≠−1) negieren:

  ¬∀x: ((x+1)²>0 ⇔ x≠−1)

≡ ∃x: ¬( (x+1)²>0 ⇔ x≠−1 )

≡ ∃x: ( (x+1)²>0 ⇔ ¬x≠−1 )

≡ ∃x: ( (x+1)²>0 ⇔ x=-1 )