Kombinatorik Schachturnier. Wie viele Paarungsmöglichkeiten gibt es für die ersten n Partien?

Question

Aufgabe:

mir wurde folgende Aufgabe gestellt und ich bin mir nicht sicher, ob ich einen Denkfehler habe:

a) Es gibt 2n Spieler. Wie viele Paarungsmöglichkeiten gibt es in der ersten Runde, die aus genau n Partien besteht?

b) Nun nehmen 4n Spieler teil. Wie viele Paarungsmöglichkeiten gibt es für die ersten n Partien in diesem Fall?

Beachten Sie, dass bei diesen Paarungen die Verteilung der Farben eine Rolle spielt.

Problem/Ansatz:

Mein erster Gedanke war, dass ich aus den Spieler zuerst ein Paar auswählen muss, dann ein Paar aus 2n-2, etc.

Somit müsste man rechnen:

(2n über 2) * (2n-2 über 2) *... * (2 über 2)

Diese letzte Anmerkung hat mich allerdings ein wenig aus dem Konzept gebracht. Mein erster Gedanke war, dass man ein das Ergebnis verdoppeln müsste, da es jeweils zwei Möglichkeiten der Sitzplatzverteilung gibt. Oder hat man daher eine Variation.

Und bei der b) muss man doch alle 2n durch 4n, 2n-1 durch 4n-1, 2 durch 2n+2 usw. ersetzen?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.

Comments

Welchen Austragungsmodus hat ein Schachturnier? Was ist eine "Runde"?

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Mehr stand leider nicht in der Aufgabe.

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Ok. Dann studiere mal die vorhandene Antwort unten.

Bei den "ähnlichen Fragen" findest du ein Zahlenbeispiel. https://www.mathelounge.de/417634/moglichkeiten-schachturnier-verschiedene-paarungen-moglich Studiere die Rechnung dort auch und überlege, wie und ob die Farben dort berücksichtigt wurden.

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In der Antwort unten werden die Farben berücksichtigt, da ja die Spieler in (2n)! Reihenfolgen angeordnet werden, wodurch z. B. ABCD und ABDC verschieden sind, bei denen die Paare zwar gleich sind, aber einmal C weiß hat und einmal D.

Das Zahlenbeispiel ist ja letztendlich dieselbe Formel wie unten, nur eben mit den konkreten Werten.

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Das Zahlenbeispiel ist ja letztendlich dieselbe Formel wie unten, nur eben mit den konkreten Werten.

Das ist nicht richtig. In der verlinkten Aufgabe ging es nur um die Grupppierung ohne die Unterscheidung der Farben.

Das unterscheidet diese Aufgabe, In der die Farbwahl eine Rolle spielen sollte.

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Stimmt. Tut mir leid, ich hatte da irgendwie ein Brett vorm Kopf.

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Zur Übung könntest du aber noch an einer allgemeinen Formel arbeiten, wenn die Farbwahl keine Rolle spielen soll.

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Vom Duplikat:

Titel: Für ein Schachturnier stehen dem Veranstalter nur n Tische zur Verfügung.

Stichworte: stochastik

a) Zunächst sind 2n Schachspieler für das Turnier angemeldet. Wie viele Paarungsmöglichkeiten
gibt es in der ersten Runde, die aus genau n Partien besteht?
b) Nun nehmen 4n Schachspieler am Turnier teil. Wie viele Paarungsmöglichkeiten gibt es in
diesem Fall für die ersten n Partien?

Könnte mir bei der Aufgabe bitte jemand behilflich sein? Ich stehe leider komplett auf dem Schlauch.

Answer 1

a) Es gibt 2n Spieler. Wie viele Paarungsmöglichkeiten gibt es in der ersten Runde, die aus genau n Partien besteht?

(2·n)!/n!

Man stelle sich vor wir setzen alle Spieler auf eine Bank und lassen dann den ersten mit dem zweiten spielen, den dritten mit dem vierten, etc. wobei der erstere immer weiß nimmt.

Also brauch ich nur die Anzahl Reihenfolgen berechnen mit der ich die Spieler auf der Bank platz nehmen lassen.

Aber moment. Das ist zuviel. Denn es spielt keine Rolle ob ein Pärchen bei 12 oder 34 oder 56 etc. sitzt. Daher kann ich also quasi alle Pärchen untereinander verteilen. Damit muss ich also nochmal nur n! teilen.

Jetzt probier mal b) alleine. Das funktioniert eigentlich genauso.

Comments

Vielen Dank.

Bei der b) müsste also gelten:

4n!/(4n-2n)!*n! = 4n!/2n!n!,

da ich ja erst unter Beachtung der Reihenfolge 2n Spieler aus den ursprünglichen 4n auswählen muss, die überhaupt an einer Partie teilnehmen müssen (entspricht Variation ohne Wiederholung) und diese dann wie oben durch n! teile, da die Reihenfolge der Paare keine Rolle spielt.

Stimmt das so?

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Ja das ist so richtig. Achte aber bitte auf die richtige Klammerung.

(4·n)! / ((2·n)!·n!)

Zähler und Nenner eines Bruches sind hier ggf. zu Klammern, wenn es nötig ist.

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Vielen Dank.