Extremwertaufgabe - Blechverbrau einer Bierdose (Minimal)

Question

Eine 0,5 Liter Bierdose habe vereinfacht die Form eines Zylinders. Welche Maße müssen den Radius r und Höhe h gewählt werden, damit der Blechverbrauch minimal wird?


Folgendes konnte ich bestimmen:


Hauptbedingung: A=2*pi*r²+2*pi*r*h

Nebenbedingung: 0,5dm³=pi*r²*h

=> h=0,5/pi*r²


Zielfunktion: A(r) = 2*pi*r²+2*pi*r*0,5/pi*r²


Ich benötige die Ableitungen davon, da ich nicht weiß wie ich diese bilden soll mit dieser Zielfunktion.

Danke schonmal für alle Antworten

Comments

Du kannst im 2.Term kürzen:

A=2*r*pi+1/r

A' =2*pi-1/r^2

---

Wieso sollte die Ableitung von 2*r*pi+1/r gleich 2*pi-1/r² sein? Kannst du mir das bitte erklären?

---

Du leitest nach r ab. 2*pi ist eine Konstante, die mitgeschleppt wird. r gibt abgeleitet 1.

1/r=r^-1 wird zu -1*r^-2

---

Dankeschön, bräuchte dann noch die 2. Ableitung bitte :s

wäre dass dann:


A''=1/r ?

---

A''(r) = 2/r^3

-1/r^2 = -r^-2---> -(-2)r^-3 = 2/r^3

---

@ Anonym (Antwortgeber):

Das stimmt nicht ganz - siehe meine Antwort :-)

Besten Gruß

Answer 1

I. A = 2πr²+ 2πrh
II. V = hπr² ->
III. h = V/(πr²) einsetzen in I.

A(r) = 2πr²+ 2πr(V/(πr²))
A(r) = 2πr²+ 2V/r
erste ableitung
A'(r) = 4πr - 2V/r²
zweite ableitung
A''(r) = 4π + 4V/r³

erste ableitung null setzen
4πr - 2V/r² = 0 | *r²
4πr³ - 2V = 0
r³ = 2V/(4π)
r = ³√(2V/(4π))
einsetzen in die zweite ableitung um zu prüfen, ob an der stelle
r = ³√(2V/(4π)) ein extrempunkt ist.

A''(r) = 4π + 4V/(³√(2V/(4π)))³
A''(r) = 4π + 4V/(2V/(4π)
A''(r) = 4π + 4V4π/(2V)
A''(r) = 4π + 8π > 0
an der stelle r = ³√(2V/(4π)) ist ein minimum.

einetzen in III.

h = V/(π(³√(2V/(4π)))²)
h = V/(π(³√(2²V²/(4²π²))
h = V/(³√(π³2²V²/(4²π²))
h = (³√(V³/(π2²V²/(4²)))
h = ³√(4V/π)

mit V = 0.5dm³ erhalten wir eine höhe von
h = ³√(4*0.5/π)
h = ³√(2/π)
h = ³√(2/π)
h ≈ 0.86 dm
(h ≈ 8.6 cm)

aus II. bekommen wir
r = √(V/(hπ))
r ≈ √(0.5/(0.86π))
r ≈ 0.43 dm
(r ≈ 4.3 cm)
 

Answer 2

 

bis hierhin hast Du alles richtig gemacht:

A(r) = 2*pi*r² + 2*pi*r*0,5/(pi*r²)

Um die Ableitung von A(r) zu bilden, kannst Du beide Summanden separat ableiten:

(2 * pi * r²)' = 4 * pi * r

[2 * pi * r * 0,5/(pi * r²)]' = [pi * r / (pi * r²)]' = (1/r)' = (r^-1) = -r^-2 = -1/r²

Also lautet

A'(r) = 4 * pi * r - 1/r²

Die zweite Ableitung wird analog berechnet:

(4 * pi * r)' = 4 * pi

(-1/r²)' = (-r^-2)' = (2 * r^-3) = 2/r³

A''(r) = 4 * pi + 2/r³

 

Besten Gruß