Piratenaufgabe mit chinesischem Restsatz lösen

Question

wäre für eine mathematische Lösung mit Erklärung unglaublich dankbar :)

Aufgabe:

Als 15 Piraten ein Schiff kaperten, erbeuteten sie eine Anzahl Goldmünzen. Nach gleichmäßigem Aufteilen blieben 7 Goldmünzen übrig. Bei einem Streit ging ein Pirat über Bord. Nun blieben nach dem Aufteilen noch 8 Münzen übrig. Wieder flog ein Pirat bei einem Streit über Bord und die Goldmünzen ließen sich nun gleichmäßig aufteilen. Bestimmen Sie mithilfe des chinesischen Restsatzes, wie viele Goldmünzen die Piraten erbeutet hatten.

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Vom Duplikat:

Titel: Piratenaufgabe mit chinesischem Restsatz lösen

Stichworte: rechenaufgabe

wäre für eine mathematische Lösung mit Erklärung unglaublich dankbar :)

Aufgabe:

Als 15 Piraten ein Schiff kaperten, erbeuteten sie eine Anzahl Goldmünzen. Nach gleichmäßigem Aufteilen blieben 7 Goldmünzen übrig. Bei einem Streit ging ein Pirat über Bord. Nun blieben nach dem Aufteilen noch 8 Münzen übrig. Wieder flog ein Pirat bei einem Streit über Bord und die Goldmünzen ließen sich nun gleichmäßig aufteilen. Bestimmen Sie mithilfe des chinesischen Restsatzes, wie viele Goldmünzen die Piraten erbeutet hatten.

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Das hast du gestern schon gefragt. Bitte bei der vorhandenen Antwort nachfragen.

Answer 1

\( x \equiv \;7\:mod\;15 \)

\( x \equiv \;8\:mod\;14 \)

\( x \equiv \;0\:mod\;13 \)

Verstehst du diesen Ansatz?

Comments

Soweit so gut, muss mir erstmal noch anlesen wie man das überhaupt macht, aber seeeeehr hilfreich danke!

Answer 2

Wenn \(x\) die Anzahl der Goldstücke ist, dann gilt nach Aufgabenstellung:$$\begin{aligned} x &\equiv 7 \mod 15 \\ x &\equiv 8 \mod 14\\ x &\equiv 0 \mod 13 \end{aligned}$$Wie man das mit dem chinesischen Restsatz löst, ist hier beschrieben. Das \(kgV(15,14,13)=2730\). Geht man den Algorithmus durch, so ergibt sich folgende Tabelle$$\begin{array}{rrr|rr|rr}a_i& m_i& M_i& r_i& s_i& e_i& e_1\cdot a_i\\ \hline 7& 15& 182& 85& -7& -1274& -8918 \\ 8& 14& 195& 14& -1& -195& -1560 \\ 0& 13& 210& 97& -6& -1260& 0\\ \hline & & & & & & -10478\\ \end{array}$$Wobei \(M_i=\text{kgV}(m_1,m_2,m_3)/m_i\) und \(e_i=s_i \cdot M_i\). Das \(r_i\) und \(s_i\) ergibt sich aus$$r_i \cdot m_i + s_i \cdot M_i = 1$$Siehe Erweiterter Euklidischer Algorithmus. Und $$-10478 \equiv 442 \mod 2730$$Somit ist \(x=442\) die kleinste mögliche Anzahl von Goldstücken, die die Piraten erbeutet haben. Allgemein gilt aber$$x = 442 + 2730 \cdot k \quad k \in \mathbb{N}_0$$Übrigens: einen Online-Rechner für den erweiterten Euklidischen Algorithmus findest Du hier.

Gruß Werner

Comments

Du hast in deinen ersten beiden Kongruenzen die 8 und die 7 vertauscht.

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Danke für den Hinweis. Glücklicherweise nicht in der Tabelle ;-)

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Vielen Dank, sehr hilfreich!