gefälschte Münze - Hilfe bei Berechnung

Question

Hallo liebe Leute,

ich musste mich mit der Frage zu "Sei X eine geometrisch verteilte Zufallsvariable mit Parameter p, d.h.     P[X = k] = p*(1−p)^(k−1), k ∈{1,2,...} "  beschäftigen. Als Beispiel können wir den Münzwurf nehmen. Es wird solange eine gefälschte Münze geworfen, bis Kopf fällt. Gefälscht bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, Zahl zu werfen, grösser ist, als Kopf zu werfen. (nicht mehr 50:50). Die Aufgaben sind die folgende.

(a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses G = {X ist gerade}.

(b) Für k ∈N berechne P(X = k|G)

Ich nehme an, dass die Aufgabe (a) ist sehr einfach und ich bin einfach nur blöd, um dahinterzukommen. Grosses Omega von G ist ja {2,4,6,.....}; Dementsprechend sollte die Wahrscheinlichkeit, dass G eintrifft, 1/2 sein, oder? Weil Omega für alle möglichen Ergebnisse ist {1,2,3,4,5,....}. Wenn ich jetzt Anz. günstige(Omega von G)/ Anz. mögliche(Omega von allen Ereignissen) mache, ergibt es 1/2, oder?

Bei Aufgabe b kann ich P = P(X=k geschnitten G) / P(G) rechnen. Das Omega von X=k geschnitten G ist {2,4,6...}, das würde ja bedeuten, dass P = 1 ist, oder?

Es tut mir sehr leid, ich bin total verwirrt. Es würde mich enorm freuen, wenn jemand mit weiterhelfen würde.

Comments

Was genau soll denn X überhaupt sein?

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X ist das Ereignis, wo ich zum Beispiel bei einem Wurf Kopf erhalte.

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Das war nicht der Sinn meiner Frage. Offenbar soll X eine Zufallsgröße sein, aber welche?

Answer 1

$$ G = P[k \quad gerade] = \sum \limits_{k=1}^{\infty} p * {(1-p)}^{2k-1} = \frac{1-p}{2-p} $$
$$ P[k | G ] = 0, \quad falls \quad  k \quad  ungerade $$
$$ P[k | G ] = \frac { p * {(1-p)}^{k-1}} {G} = p * {(1-p)}^{k-2} * (2-p), \quad falls \quad k \quad gerade $$

Comments

Ist es für G=... *(1-p)^(2k-1), weil 2k immer eine gerade Zahl ist? Und wieso ist die Summe = (1-p)/(2-p)? Wie kommst Du darauf?

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Bei der für G genannten Summe wird der Index k nur für gerade k durchlaufen.

$$ \sum \limits_{k=1}^{\infty} p*(1-p)^{2k-1} = $$
$$ \frac{p}{1-p}\sum \limits_{k=1}^{\infty} (1-p)^{2k} = $$
$$ \frac{p}{1-p}\sum \limits_{k=1}^{\infty} (1-2p+p^2)^{k} $$
q = 1-2p+p^2, wegen |q| < 1 für p  !=  0 kann man die geometrische Reihe anwenden.
$$\sum \limits_{k=1}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1-q} - 1 = \frac{q}{1-q} $$
Einsetzen in die obige Summenformel
$$ \frac{p}{1-p} *\frac{q}{1-q} = $$
$$ \frac{p}{1-p}*\frac{1-2p+p^2}{2p-p^2} = $$
$$ \frac{p}{1-p}*\frac{(1-p)(1-p)}{2p-p^2} = $$
$$ p*\frac{1-p}{2p-p^2} = \frac{1-p}{2-p} $$
q.e.d.