Polarkoordinaten bestimmen

Question

Aufgabe:

Es sollen die Polarkoordinaten von folgender komplexen Zahl bestimmt werden.

-1 + i

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz hier wäre erstmal zu bestimmen was der Re(z) Teil und der Im(z) Teil ist. In diesem Falle wäre der Realteil -1 aber beim Imaginärteil weiß ich nicht ob er 0 ist (0*i) oder einen anderen Wert hat.

Den Betrag r würde ich berechnen indem ich $$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ berechne.

Eingesetzt komme ich hier auf $$\sqrt{(-1)^{2}+i^{2}}$$ und hier kommt raus Wurzel aus 0 = 0 aber wie geht es dann weiter?

Answer 1

z|=√((-1)^2 +1^2) =√2

tan(φ)= 1/(-1) = -1

φ =((3 π)/4) (2.Quadrant)

= √2 *e^((3 π*i)/4)

Comments

Danke für deine Hilfestellung! Könntest du mir noch erläutern wie du auf 3/4 Pi kommst?

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siehe hier, wir mußten das früher mal auswendig wissen:

https://www.matheretter.de/wiki/funktionswerte-sin-cos-tan

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Nur noch als kurze Bestätigung, die komplexe Zahl -1 + i lautet in Polarform:

$$\sqrt{2}\cdot e^{i*\frac{3}{4}π}$$

?

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JA , das hatte ich ja weiter oben schon geschrieben.

:)

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Was ich jetzt noch nicht verstehe ist die "offizielle" Schreibweise von Polarkoordinaten, ich sehe hier einmal deine Schreibweise nach der Eulerschen Formel und woanders liest man wieder das hier z.B. P(8 / 38°)

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Wie habt Ihr es den in der Vorlesung gehabt?

Ja, die Schreibweise als P( √2/ 135°) ist auf jeden Fall richtig.

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In der Vorlesung hatten wir glaube ich bisher nur die Schreibweise mit P ( / ), dann würde ich das so übernehmen, vielen lieben Dank für die Hilfe!

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JA , tue es dann auf jeden Fall so wie in der Vorlesung.

Answer 2

Beim Imaginärteil weiß ich nicht, ob er 0 ist (0*i) oder einen anderen Wert hat.

i=1·i. Der Imaginärteil ist also 1.

Comments

Danke erstmal, ich erhalte hier dann r = Wurzel aus 2, kann das stimmen? Damit komme ich doch auch nicht wirklich weiter weil ich die Wurzel aus 2 nicht ziehen kann und ich kann ja nicht schreiben Wurzel aus 2 * sin von fi oder?

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\( \sqrt{2} \) ist die Länge der Diagonalen im Quadrat mit der Kantenlänge 1. Selbstvestämdlich kann man schreiben: \( \sqrt{2} \)·sin(φ).

Answer 3

a ist der Realteil von z und b ist der Imaginärteil von z.

b=1, damit kommst du weiter.

Den WInkel bestimmst du am leichtesten mit einer Skizze.