Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen von f ( x ).
Gesucht sind also die Anzahlen der Lösungen der quadratischen Gleichung
f ( x ) = a x ² - 1,5 x + 2 = 0
Betrachte dazu die Diskriminante D der quadratischen Gleichung a x ² + b x + c = 0 . Diese ist so definiert:
D = b ² - 4 a c
Es gilt: Ist
D > 0 , dann hat die Gleichung genau zwei verschiedene Lösungen
D = 0 , dann hat die Gleichung eine Lösung ("doppelte Nullstelle")
D < 0 , dann hat die Gleichung keine reelle Lösung
In der Aufgabenstellung soll nun der Parameter a in der Gleichung a x ² - 1,5 x + 2 = 0 jeweils so bestimmt werden, dass sich genau zwei verschiedene bzw. genau eine bzw. keine Lösung ergibt, dass also die Determinante einen positiven Wert bzw. den Wert Null bzw. einen negativen Wert annimmt.
Aus der gegebenen Gleichung liest man ab:
b = - 1,5 und c = 2
Die Determinante D ist also:
D = 2,25 - 4 * a * 2 = 2,25 - 8 a
Zwei Lösungen gibt es also, wenn
D = 2,25 - 8a > 0
<=> 8 a < 2,25
<=> a < 9 / 32
Eine Lösung gibt es, wenn
D = 2,25 - 8a = 0
<=> a = 9 / 32
und keine Lösung existiert, wenn
D = 2,25 - 8 a < 0
<=> a > 9 / 32
