Potenzen mit gleichen Exponenten: Bsp. a) (1 - y)^5 : (y^2 - 2y + 1)^5

Question

Aufgabe:

a) (1 - y)^5 : (y^2 - 2y + 1)^5

b) (c + 1)^3 × (c - 1)^3

c) (x^2 - 1)^6 : (x - 1)^6

d) (5x + 2)^2 : (25x^2 + 20x + 4)^2

Answer 1

$$a) \qquad \frac{(1-y)^5}{(y^2-2y+1)^5} = \left( \frac{1-y}{y^2-2y+1} \right)^5 = \left( \frac{1-y}{(1-y) \cdot (1-y)} \right)^5 = \left( \frac{1}{1-y} \right)^5 = \frac{1}{(1-y)^5}\\ b) \qquad (c+1)^3 \cdot (c-1)^3 = ((c+1) \cdot (c-1))^3 = (c^2 - 1)^3 \\ c) \qquad \frac{(x^2-1)^6}{(x-1)^6} = \left( \frac{x^2-1}{x-1} \right)^6 = \left( \frac{(x+1) \cdot (x-1)}{x-1} \right)^6 = (x+1)^6\\ d) \qquad \frac{(5x+2)^2}{(25x^2+20x+4)^2} = \left( \frac{5x+2}{25x^2+20x+4} \right)^2 = \left( \frac{5x+2}{(5x+2) \cdot (5x+2)} \right)^2 = \left( \frac{1}{5x+2} \right)^2 = \frac{1}{(5x+2)^2}$$

Comments

Die Aufgabe d) ist falsch. Richtige Lösung, siehe bei Tschakabumba.

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Danke für die Mitteilung. Ich habe den Fehler korrigiert.

Answer 2

Tipp: Binomische Formeln auch mal rückwärts verwenden. Bsp.

a) (1 - y)^5 : (y^2 - 2y + 1)^5
=  (1 - y)^5 : (1 - 2y + y^2)^5

= (1 - y)^5 : ((1-y)^2)^5

= (1 - y)^5 : (1-y)^10

= 1 / (1-y)^5 

Answer 3

Aloha :)

$$\frac{(1-y)^5}{(y^2-2y+1)^5}=\left(\frac{1-y}{y^2-2y+1}\right)^5=\left(\frac{1-y}{(y-1)^2}\right)^5=\left(-\frac{y-1}{(y-1)^2}\right)^5=\left(-\frac{1}{y-1}\right)^5=\left(\frac{1}{1-y}\right)^5=\frac{1}{(1-y)^5}$$$$(c+1)^3\cdot(c-1)^3=\left[(c+1)\cdot(c-1)\right]^3=\left(c^2-1\right)^3$$$$\frac{(x^2-1)^6}{(x-1)^6}=\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right)^6=\left(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\right)^6=(x+1)^6$$$$\frac{(5x+2)^2}{(25x^2+20x+4)^2}=\left(\frac{5x+2}{25x^2+20x+4}\right)^2=\left(\frac{5x+2}{(5x+2)^2}\right)^2=\left(\frac{1}{5x+2}\right)^2=\frac{1}{(5x+2)^2}$$