Mengenlehre - Durchschnitt unendlich vieler Mengen

Question

Aufgabe:

Bestimme folgende Menge:

D := Durschnitt von den Mengen N_k, mit k = 1 bis ∞ wobei N_k := {0 ; ¹/_k ; ¹/_k+1 ; ¹/_k+2 ; ... }

Problem:

Mein Problem ist jetzt, dass ich mir Erstens nicht sicher bin ob ich das Zeichen ∩ (Grafik unten verlinkt), richtig verstanden habe, wenn dem so wäre. würde ich denken, dass der Durchschnitt eine leere Menge wäre, denn wenn man mit k gegen Unendlich arbeiten würde, so würde man je niemals einen Wert finden der in allen Mengen N vorkomme (außer der 0), da ja mit jeder Erhöhung von k, auch eine neue Zahl dazu kommt, welche bisher nicht vorhanden war. Es wäre aber auch möglich das der Durchschnitt D einfach 0 und ¹/_∞. Meinen Kenntnissen nach, ist es aber nicht möglich durch ∞ zuteilen, damit müsse man lim_k->∞¹/_k schreiben, das wäre ja wieder 0?

Vielen Dank schon einmal im Voraus :)

Answer 1

außer der 0

Das reicht, damit der Durchschnitt nicht die leere Menge ist, sondern {0}.

1/∞ ist nicht in N₁ enthalten, gehört also ebenfalls nicht zum Durchschnitt.

Die Schreibweise \(\bigcap_{k=1}^\infty N_k\) besagt nicht, dass tatsächlich irgendwann ∞ für k eingesetzt wird.