Taylorreihe einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten

Question

Aufgabe e) Zeichnen Sie den Punkt P, gegeben durch die komplexe Zahl z mit den Koordinaten (a1, b1) in eine rechtwinklige (komplexe) ab-Ebene ein. Verbinden Sie den Ursprung O mit dem Punkt P. Die Entfernung von O nach P sei r und der Winkel zwischen OP und der positiven a-Achse sei φ.

Drücken Sie a und b durch r und φ sowie r durch a und b aus. Geben Sie zusätzlich die Zahl z (r, φ) als Funktion der Größen r und φ (in der sogenannten Polarform) an.
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Also die Aufgabe war noch kein Problem, da kommt ja dann die standard Polarform z = r * (cos(φ) + i*sin(φ)) raus.

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Aufgabe f) Zeigen Sie durch Taylor-Reihenentwicklung um die Entwicklungsstelle x0 = 0 der Polarform aus e), dass sich komplexe Zahlen durch die Exponentialfunktion darstellen lassen und dass gilt: $$\begin{array}{l}{z=a+i b=} \\ {r \cdot e^{i \phi}}\end{array}$$
Als Hinweis wird noch die Formel der Taylorreihe angegeben, sowie folgende Info:

Berechnen Sie ausreichend viele Summanden der Reihe für die drei Funktionen $$e^{x}, \sin [x] \text { und } \cos [x]$$ um diese anschließend vergleichen zu können.

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Wie man eine Taylorreihe berechnet weiß ich, aber wie mache ich das für eine komplexe Zahl in Polarform? Ist φ die Unbekannte? Wäre sehr dankbar, wenn mir wer auf die Sprünge helfen könnte.


und LG

Answer 1

Aloha :)

Zerlege die Potenzreihe der Exponentialfunktion in eine Potenzreihe mit geraden und eine mit ungeraden Exponenten (unendliche Summen kann man in unendliche Teilsummen zerlegen, solange man sich innerhalb ihrer Konvergenzradien befindet):$$e^{i\varphi}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(i\varphi)^n}{n!}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(i\varphi)^{2k}}{(2k)!}+\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(i\varphi)^{2k+1}}{(2k+1)!}$$Wegen \(i^2=-1\) gilt weiter:$$(i\varphi)^{2k}=i^{2k}\cdot\varphi^{2k}=(i^2)^k\cdot\varphi^{2k}=(-1)^k\cdot\varphi^{2k}$$$$(i\varphi)^{2k+1}=i^{2k+1}\cdot\varphi^{2k+1}=i\cdot i^{2k}\cdot\varphi^{2k+1}=i\cdot(i^2)^k\cdot\varphi^{2k+1}=i\cdot(-1)^k\cdot\varphi^{2k+1}$$Damit können wir obige Summen umformen:$$e^{i\varphi}=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\varphi^{2k}}{(2k)!}+i\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\varphi^{2k+1}}{(2k+1)!}$$Das sind die Taylorreihen von \(\cos\varphi\) und \(\sin\varphi\), sodass:$$\underline{e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi}$$