Question

Berechnen Sie die Polarkoordinaten der folgenden komplexen Zahlen.

$$\text{a) } z_1 = (1 + i)^3(1 − i)$$

$$\text{b) } z_2 = -5e^{\frac{5i\pi}{2}}$$

$$\text{c) } z_3 = \frac{1}{1+i}$$

$$\text{d) } z_4 = i^n \text{ für } n \in \mathbb{N}$$

Answer 1

Die allgemeine Darstellung der Polarkoordinaten lautet:

z= r e^{i φ} ,d. h. es muß  Betrag und Winkel gebildet werden.

a)  z₁=(1+i)^3(1−i)

= (1+i)^2 *(1+i)*(1-i)

=(1 +2i -1) *(1+1)

= (2i) *2 = 4i

-->z =4 ;  φ =90°

z₁= 4 *e^{i 90°} (Darstellung als Polarkoordinaten)

Answer 2

d) i^n=(e^{iπ/2})^n=e^{i*n*π/2}=cos(n*π/2)+i*sin(n*π/2)