Komplexe Zahlen HILFE ! Polarkoordinaten Form !

Question

Aufgabe: Diese Gleichung in die Koordinatenfrom (Kartesiche Form) umschreiben. 

(2*(COS(pi/3)+i·SIN(pi/3)))^10

Ansatz: (2^10*(cos(10*pi/3)+i*sin(10*pi/3)) => 1024*(cos(10*pi/3)+i*sin(10*pi/3)) ... Aber hier kp :/

Bitte mit Rechenschritten.!

Answer 1

Die resultierende komplexe Zahl hat offenbar den Betrag 1024 und den Polarwinkel 10 π /3 , was (modulo 2 π) äquivalent zum Winkel 4 π/3 ist - oder in Grad ausgedrückt  240°.

Die entsprechenden Sinus- und Cosinuswerte kann man sich anhand eines Hilfsdreiecks klar machen. Die Werte sind dabei für den Sinus (y-Koordinate im Einheitskreis) (-√(3)) / 2 und  für den Cosinus  -1/2 . Mit dem Betrag 1024 multipliziert erhält man dann den komplexen Wert  -512 - (512 √3 i).

Comments

Vielen dank. Nur 1 frage, um auf den Winkel 4pi/3 zu kommen. Muss ich ja erst eine Verschiebung durchführen, da 10pi/3 ja nicht im Intervall von [0;2pi) liegt. 
Hast du da dann einfach 10pi/3 - 6pi/3 gemacht, um auf die 4pi/3 zu kommen und dadurch dann anhand  einer Winkeltabelle die Werte für Sin und Cos bestimmt ? 

Bzw. warum 6pi/3 ? den Rest habe ich so weit Verstanden. 
Vielen Dank schonmal :)

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"Hast du da dann einfach 10pi/3 - 6pi/3 gemacht, um auf die 4pi/3 zu kommen und dadurch dann anhand  einer Winkeltabelle die Werte für Sin und Cos bestimmt ?"  

Reduktion modulo 2π bedeutet hier genau dies.

Eine Tabelle brauche ich in diesem Beispiel allerdings nicht, weil 4π/3 = π + π/3 , und die trigonometrischen Werte für den Winkel π/3 kann ich mit meinem "inneren geometrischen Auge" sehen ...