Diese Ungleichung beweisen (m über k) < (n über k)

Question

Aufgabe:

hier ist eine Aufgabe die ich versuche zu lösen. Ich soll zeigen, dass \( \begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \) < \( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) gilt, wenn bekannt ist, dass m < n.

Problem/Ansatz:

\( \begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \) < \( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) kann man umschreiben zu:

\( \frac{m!}{k!(m-k)!} \) < \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Ich habe versucht die beiden Terme auf den selben Nenner zu bringen, aber irgendwie komme ich auch keine Lösung die die Bahauptung beweisen könnte. Hat da jemand einen Vorschlag? Ein Tipp würde schon reichen. Vielen Dank!

Answer 1

Bekannt?
\( \begin{pmatrix} m+1 \\ k \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} m \\ k-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}\)

Damit ist \( \begin{pmatrix} m+1 \\ k \end{pmatrix} \) schon mal größer als \( \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}\) (dein Nachweis, falls n=m+1).

Comments

In meinen Unterlagen habe ich dieses hier gefunden:

\( \begin{pmatrix} m+1\\k+1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} m\\k+1 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \)

Das was du da aufgeschrieben hast aber leider nicht. Kann man irgendwie von meiner Formel auf deine schließen oder ist das was ganz anderes?

Answer 2

sei n=m+z, z ∈ {1,2,3...}

\( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} m+z\\k \end{pmatrix} \) =\( \frac{(m+z)!}{k!(m+z-k)!} \) =\( \frac{m!(m+1)...(m+z)}{k!(m-k)!(m-k+1)...(m-k+z)} \) =\( \begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \)*\( \frac{(m+1)...(m+z)}{(m-k+1)...(m-k+z)} \)=\( \begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \)*\( \frac{(m+1)}{(m-k+1)} \)*...\( \frac{(m+z)}{(m-k+z)} \)>\( \begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \) da alle Brüche >1