Beweisen: Formel zur Multiplikation von Binomialkoeffizienten (n über m)*(m über k) = (n über k)*(n-k über m-k)

Question

Ich soll einen Beweis für folgende Rechnung machen:

Seien k,m,n Element aus IN. Es gelte: 0 kleiner/gleich k kleiner/gleich m kleiner/gleich n.

(n über m)*(m über k) = (n über k)*(n-k über m-k)

Also ich weiß ja das (n über k) = n!/ k!(n-k)! ist. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich mit dem m umgehen soll, also kann ich quasi auch (n über m) = n!/ m!(n-m)!  machen? Oder gibt es da eine andere Lösung?

Answer 1

Wenn ein Verein mit n Mitgliedern ein Komitee aus m Mitgliedern und dann dieses Komitee einen Vorstand aus k seiner Mitglieder zu bestimmen hat, so gibt es dafür genauso viele Möglichkeiten, als wenn der Verein zunächst den Vorstand und dann die restlichen m-k Mitglieder des Komitees bestimmt.

Comments

Sehr schöne Erläuterung in einem Sachzusammenhang. Aber Achtung. Dieser Sachverhalt dient nur dem Verständnis und dürfte wohl nicht als Beweis gewertet werden.

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dürfte wohl nicht als Beweis gewertet werden

Das wäre wohl eine Fehlentscheidung.

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"Wenn ein Verein mit n Mitgliedern ein Komitee aus m Mitgliedern und dann dieses Komitee einen Vorstand aus k seiner Mitglieder zu bestimmen hat, so gibt es dafür genauso viele Möglichkeiten, als wenn der Verein zunächst den Vorstand und dann die restlichen m-k Mitglieder des Komitees bestimmt."

Was zu beweisen wäre. Nur weil es DIR klar ist, ist es noch kein Beweis.

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Selbstverständlich sind kombinatorische Argumentationen als Beweise zuzulassen, zumal Binomialkoeffizienten meist (zumindese oft) kombinatorisch definiert werden. Vgl. die ersten drei Zeilen in diesem Artikel: https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

Ich habe nun diese in einem Kommentar versteckte Antwort in eine eigenständige Antwort umgewandelt.

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Unsere Dozenten waren da sehr pingelig. Auch wenn ein Sachverhalt z.B. an Venn-Diagrammen mehr als deutlich war, wurde ein Venn-Diagramm nicht als Beweis zugelassen. Und meine Erfahrungen zeigen, dass zumindest bei Venn-Diagrammen diese auch bei anderen hier im Forum nicht zugelassen waren bzw. sind.

Das ging in meiner Antwort nicht klar hervor. Ich zweifel nicht den Sachverhalt als Text an. Ich Zweifel höchstens an, dass so ein Beweis bei Dozenten erwünscht ist.

Beweise anhand von Venn-Diagrammen sind auch Beweise. Trotzdem legen die Dozenten mehr wert auf Formelsichere herleitungen.

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@Mathecoach: In deinem "Beweis" musst erst noch gezeigt werden, wie man von der Definition der Binomialkoeffizienten auf die Darstellung mit Brüchen unf Fakultäten kommt. Es sei denn dieser Beweis ist bereits in den Unterlagen zu finden oder in der Schule / im Schulbuch wurde der Binomialkoeffizient direkt als Bruch definiert.

Answer 2

Dein Ansatz ist richtig. Alle Binomialkoeffizienten erstmal als Brüche mit Fakultäten umschreiben.

(n über m) * (m über k) = (n über k) * (n-k über m-k)

= n! / (m! * (n-m)!) * m! / (k! * (m-k)!) = n! / (k! * (n-k)!) * (n-k)! / ((m-k)! * (n-k-(m-k))!)

= n! / (n-m)! * 1 / (k! * (m-k)!) = n! / k! * 1 / ((m-k)! * (n-m)!)

= 1 / (n-m)! * 1 / (k! * (m-k)!) = 1 / k! * 1 / ((m-k)! * (n-m)!)

= 1 / 1 * 1 / (1 * 1) = 1 / 1 * 1 / (1 * 1)

Das sieht doch gut aus.

Comments

Alle Binomialkoeffizienten erstmal als Brüche mit Fakultäten umschreiben.

Falls die Brüche mit den Fakultäten bereits den Binomialkoeffizienten zugeordnet wurden, darf man auch Bruchrechnen.