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Um die Laufzeit eines Kredits zu berechnen, der mit Annuitäten zurückgezahlt wird, muss man zunächst verstehen, dass eine Annuität eine feste jährliche Zahlung ist, die Teil des Zinses und Teil der Tilgung des Darlehens umfasst. Die anfängliche Annuität besteht in diesem Fall aus den anfänglichen Zinsen und der anfänglichen Tilgung.
Gegebene Werte:
- Kreditbetrag (K): 250.000 €
- Jährlicher Zinssatz (i): 4,5%, was 0,045 als Dezimalzahl entspricht.
- Anfängliche Tilgungsrate (t): 2,5%, was 0,025 als Dezimalzahl entspricht.
Anfängliche Annuität berechnen:
Die Anfängliche Annuität (A) setzt sich zusammen aus der Summe der anfänglichen Zinsen und der anfängliche Tilgung.
\( A = K \cdot (i + t) \)
Einsetzen der gegebenen Werte:
\( A = 250.000 \cdot (0,045 + 0,025) \)
\( A = 250.000 \cdot 0,07 \)
\( A = 17.500 \, \text{€} \)
Die anfängliche jährliche Annuität beträgt also 17.500 €.
Laufzeit berechnen:
Die Laufzeit eines Annuitätendarlehens lässt sich bei gegebener Annuität, Zinssatz und Kreditsumme nicht direkt aus einer einfachen Formel berechnen, da die Tilgung und damit der zu verzinsende Betrag jedes Jahr abnimmt, was wiederum die Zusammensetzung der Annuität von Zins und Tilgung im Laufe der Zeit verändert. Eine Formel zur annähernden Berechnung der Laufzeit lautet:
\( n = -\frac{\ln(1 - \frac{i \cdot K}{A})}{\ln(1 + i)} \)
wobei
- \(n\) die Laufzeit des Kredits in Jahren ist,
- \(\ln\) der natürliche Logarithmus ist.
Einsetzen der gegebenen Werte:
\( n = -\frac{\ln(1 - \frac{0,045 \cdot 250.000}{17.500})}{\ln(1 + 0,045)} \)
\( n = -\frac{\ln(1 - \frac{11.250}{17.500})}{\ln(1,045)} \)
\( n = -\frac{\ln(1 - 0,6428571429)}{\ln(1,045)} \)
\( n = -\frac{\ln(0,3571428571)}{\ln(1,045)} \)
\( n = -\frac{-1,028653298}{0,044017984} \)
\( n \approx 23,38 \)
Die Laufzeit des Kredits beträgt also ungefähr 23,38 Jahre. Beachtet werden sollte, dass in der Praxis Banken die Laufzeit meist auf ganze Jahre runden und zusätzliche Zahlungen oder Gebühren einfließen können, die die Laufzeit beeinflussen.
