Reelle Parameter wählen so dass die Funktion stetig und (nicht) differenzierbar ist

Question

Aufgabe: wähle die reellen Parameter a, b, c und d so, dass die Funktion

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{a x+b} & {\text { falls } x \leq 0} \\ {c x^{2}+d x} & {\text { falls } 0<x \leq 1} \\ {1-\frac{1}{x}} & {\text { falls } x>1}\end{array}\right. \)

A) stetig und differenzierbar ist,

B) stetig aber nicht differenzierbar ist,

C) in 0 und 1 unstetig ist.

Bitte mit Erklärungen weil ich mich gerade gar nicht auskenne.

Answer 1

Das ist ja eine Funktion, die bei 0 und 1 aus anderen Funktionen

"zusammengeflickt" ist. Diese sind selber differenzierbar (und damit auch

stetig). Es geht also nur um die Flickstellen. Dort müssen

für Differenzierbarkeit sozusagen beide die gleiche Steigung haben. Also bei x=0

f(x) = ax+b    g(x) = cx^2 + dx   h(x)= 1 - 1/x

Stetig bei 0 ist erfüllt, wenn  f(0)=g(0)

                               <=> a*0+b=c*0^2+d*0 , also b=0

diffb. bei 0  ist erfüllt, wenn f '(0) = g'(0)

                              <=>      a=2c*0+d , also a=d

Stetig bei 1 ist erfüllt, wenn  h(1)=g(1)

                       <=> 1-1/1=c*1^2+d*1

                       <=>    0 = c+d

diffb. bei 1  ist erfüllt, wenn h'(1) = g'(1) 
                   <=>      1=2c*1+d 
                  <=>     1= 2c+d

Also muss gelten  b=0 ∧ a=d ∧ 0=c+d ∧ 1=2c+d
<=>    b=0 ∧ a=d ∧     c=-d ∧ 1=-2d+d
<=>    b=0 ∧ a=1 ∧ -1=c ∧    1=d.     #

Stetig, aber nicht differenzierbar, also für  b=0 und  0=c+d

aber es darf nicht # gelten, also z.B.

b=0 und  1 = c  und a=2 und d=-1

unstetig bei 0 und 1 entsprechend.