Aloha :)
Bei \(n=350\) Mitarbeiter, die mit einer Wahrscheinlichkeit \(p=0,75\) zum Vortrag gehen, gilt für Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\):$$\mu=np=262,5\quad;\quad\sigma^2=np(1-p)=65,625\;\Leftrightarrow\;\sigma\approx8,101$$Gesucht ist das Intervall \([\mu-x\;;\;\mu+x]\), in dem die Teilnehmerzahl mit 90% Wahrscheinlichkeit liegen wird. Mit Stetigkeitskorrektur heißt das:
$$0,9=\Phi\left(\frac{(\mu-x-0,5)-\mu}{\sigma}\le \frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{(\mu+x+0,5)-\mu}{\sigma}\right)$$$$\phantom{0,9}=\Phi\left(-\frac{x+0,5}{\sigma}\le \frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{x+0,5}{\sigma}\right)$$$$\phantom{0,9}=\Phi\left(\frac{x+0,5}{\sigma}\right)-\Phi\left(-\frac{x+0,5}{\sigma}\right)$$$$\phantom{0,9}=\Phi\left(\frac{x+0,5}{\sigma}\right)-\left[1-\Phi\left(\frac{x+0,5}{\sigma}\right)\right]$$$$\phantom{0,9}=2\Phi\left(\frac{x+0,5}{\sigma}\right)-1$$$$\Rightarrow\quad\Phi\left(\frac{x+0,5}{\sigma}\right)=0,95$$$$\Rightarrow\quad\frac{x+0,5}{\sigma}=\Phi^{-1}(0,95)\approx1,6448536$$$$\Rightarrow\quad x=\Phi^{-1}(0,95)\approx1,6448536\cdot\sigma-0,5$$$$\Rightarrow\quad x\approx12,82$$Das gesuchte Intervall ist daher \([249,7\;;\;275,3]\) oder auf ganze Menschen gerundet \([249;276]\).
