Konvergenz einer Folge äquivalent zu

Question

Ich verzweifle so ein bisschen an dieser Aufgabe, zumindest an der Hinrichtung. Kann mir bitte jemand sagen, wie das geht?

Answer 1

Konvergenz von a_n gegen a war ja wohl so definiert:

(1)   ∀ε>0 ∃N(ε)∈ℕ ∀n>N(ε) :  |a_n-a|<ε

und (2) ist die Aussage, die ihr jetzt da stehen habt.

Um die Äquivalenz zu zeigen betrachte erst mal:

(2) ==> (1) .  Da 2 eine All-Aussage für alle C>0 ist, gilt sie insbesondere

für C=1 und damit hat man dann (1).

umgekehrt:

Es gelte (1).  Sei nun C>0 und sei ε>0. Dann ist auch ε' = C*ε > 0

und somit gilt  ∃N(ε')∈ℕ ∀n>N(ε') :  |a_n-a|<ε' = C*ε

Also gilt (2).

Comments

Vielen Dank!!!! Noch eine Frage: Kann ich für die Rückrichtung auch so vorgehen?

Es ist \( \frac{ε}{C} \) > 0 und somit gibt es ein N∈ℕ mit |a_n − a| < C  ·  \( \frac{ε}{C} \) = ε für alle n ≥ N. Daraus folgt, dass a_n gegen a konvergiert.

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War das jetzt (1) ==> (2) oder umgekehrt ?

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Ich merke gerade, dass ich dich missverstanden habe, also ich habe es so gemacht

(2) ⇒ (1). Das was ich eben geschrieben habe.

(1) ⇒ (2). Sei a_n konvergent gegen a. Da 1 ·ε = ε gibt es ein C mit der gewünschten Eigenschaft nämlich C = 1.

Ich glaube, du vertust dich in deinem Beweis für (2) ⇒ (1). Aussage (2) macht keine Allaussage, die alle C betrifft, sondern sagt, dass es ein C gibt mit einer bestimmten Eigenschaft. Ob dieses C gleich 1 ist, wissen wir jedoch nicht.

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Stimmt, da hatte ich nicht aufgepasst.

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Passiert jedem. Was hältst du sonst von meinem Beweis? Glaubst du, der ist richtig/vollständig?

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Klingt doch gut.