Wendetangenten mit Parameter

Question

Aufgabe: Zeige, dass sich alle Wendetangenten von f_t(x)=1/t³ * (x³-3tx²+4t³) für t>0 in einem Punkt schneiden.

Problem/Ansatz:

Wie ist der Rechenweg?

den x Wert habe ich schon herausgefunden:

f''_t(x)=0

1/t³*(6x-6t)=0

x=t

In der Musterlösung steht: Alle Wendetangenten schneiden die y Achse in S(5|0)..

Comments

Alle Wendetangenten schneiden die y Achse in S(5|0)

Wenn das wirklich dort so steht dann ist das falsch. Aber vermutlich hast du es falsch abgeschrieben.

Answer 1

ft(x) = 1/t^3·(x^3 - 3·t·x^2 + 4·t^3)

ft'(x) = 1/t^3·(3·x^2 - 6·t·x)

ft''(x) = 1/t^3·(6·x - 6·t) = 0 → x = t

Wendetangenten

y = ft'(t)·(x - t) + ft(t) = 5 - 3/t·x

Damit gehen alle Wendetangenten durch den Punkt (0 | 5).

Answer 2

Jetzt brauchst du f '(t)=-3/t (Steigung jeder Wendetangente) und f(t)=2. Dann ist (t|2) die Punkteschar, durch welche die Tangenten (Geradenschaar)  gehen. Die Geradenschaar hat die Gleichung -3/t=(y-2)/(x-t)  oder y= (5t-3x)/t und alle schneiden sich in (0/5).