Ungleichung mit Binomialkoeffizienten nachwiesen durch direkte Rechnung. Problem der Ausformulierung

Question

Aufgabe:

Problem der Ausformulierung

Ungleichung mit Binomialkoeffizienten nachwiesen durch direkte Rechnung.

(a) Weisen Sie durch direkte Rechnung nach: Für \( m, n \in \mathbb{N} \) mit \( m<n \) und \( k=0, \ldots, m \) gilt
\( \frac{1}{m^{k}}\left(\begin{array}{l} {m} \\ {k} \end{array}\right) \leq \frac{1}{n^{k}}\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Setze ich Zahlen für die Variabeln ein, so erhalte ich die unten stehende Ungleichheit. Jedoch ist das Problem von mir, dass ich nicht auf den Schritt komme dies abstrakt, sprich ohne dem Einsetzen von Zahlen, aufzuschreiben. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Ausklammern Problem mit mehreren Klammern

Stichworte: ausklammern,gleichungen,fakultät

Aufgabe:

\( =\frac{m(m-1) \ldots(m-k+1)}{m * m \cdot \ldots \ldots \cdot m} * \frac{1}{k !}=m\left(1-\frac{1}{m}\right)\left(1-\frac{2}{m}\right) \ldots(1- \) \( \left.\frac{m-k+1}{m}\right) * \frac{1}{k !} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe folgende Ausklammerung hier in der Mathelounge gesehen, jedoch verstehe ich in diesem Fall nicht, wie es möglich ist vom ersten Schritt auf den zweiten Schritt zu kommen, weil bei einer Ausklammerung hier die Variable m doch eigentlich mit jeder Klammer multipliziert werden müsste. Könnte mir das einer bitte erklären?

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richtig, es muss heißen: =m/m*(1-1/m) (1-2/m)...

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Nehmen wir an, dass in Zähler und Nenner gleichviele Faktoren stehen. Lassen wir außerdem den auf beiden Seiten gleichen Faktor \( \frac{1}{k!} \) weg. Jetzt teilen wir faktorenweise Zähler durch Nenner:

\( \frac{m}{m} \) ·\( \frac{m-1}{m} \) ·\( \frac{m-2}{m} \) ·.....·\( \frac{m-k+1}{m} \) =

 1·(1-\( \frac{1}{m} \))·(1-\( \frac{2}{m} \)) · .....·(1-\( \frac{k-1}{m} \))

Das entspricht aber nicht dem Ergebnis in der Überschrift.

Es fehlt ein Angabe über Anzahl der Faktoren im Nenner.

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Danke dir für die Antwort. Über die Anzahl der Faktoren wurde vorher eine Angabe gemacht, also m^k. Dann stimmt das auch für diesen Fall. Vielen Dank

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Wenn im Nenner m^k steht, dann ist die Umformung in der Überschrift falsch.

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Ist die Umformung dann nicht wahr?

Denn es würden sich ja alle m Rauskürzen.

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Da geht bei dir vermutlich einiges durcheinander:

1. Die richtige Umformung steht in meiner Antwort, Das Wort "kürzen" passt hier nur für m/m=1.

2. Das Wort "ausklammern" (in deiner Fragestellung) passt hier auch nicht, Es werden k Faktoren im Nenner auf k Faktoren im Zähler verteilt. Ein Bruch aus Produkten wird als Produkt von Brüchen geschrieben.

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Egal ob da am Schluss ein m oben oder unten übrig bleibt.

Einen der Faktoren kannst du z.B. folgendermassen umformen:

(m-2)/m = m/m - 2/m = 1 - 2/m

Die andern analog.

Answer 1

Den Fall m=0 schreibe ich mal extra hin:

\( \frac{1}{0^{0}} \) \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \) =1*1=1

n muss dann ≥1:

\( \frac{1}{n^{0}} \) \( \begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix} \) =1*1=1, also gilt:

\( \frac{1}{0^{0}} \) \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)≤\( \frac{1}{n^{0}} \) \( \begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix} \)

nun: m≥1, n>m:

\( \frac{1}{m^{k}} \) \( \begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \) =\( \frac{1}{m^{k}} \)\( \frac{m(m-1)...(m-k+1)}{k!} \)

=\( \frac{m(m-1)...(m-k+1)}{m * m *...............* m} \)*\( \frac{1}{k!} \) =((1-\( \frac{0}{m}) \)((1-\( \frac{1}{m}) \) (1-\( \frac{2}{m}) \) ...(1-\( \frac{m-k+1}{m}) \)*\( \frac{1}{k!} \)

≤(1-\( \frac{0}{n}) \)(1-\( \frac{1}{n}) \) (1-\( \frac{2}{n}) \) ...(1-\( \frac{n-k+1}{n}) \)*\( \frac{1}{k!} \)         da die roten Faktoren alle vergrößert werden

=\( \frac{1}{n^{k}} \) \( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \)       umgekehrte Umformung (wie oben mit m)

Comments

Hallo Helmus,

Jedoch stoße ich auf eine Unverständlichkeit bei dir in der Lösung.

Im letzten Schritt sagst du, dass alle vorderen Faktoren vergrößert werden, jedoch verstehe ich nicht was du damit meinst? Meinst du damit, das 1-1/n größer 1-1/m ist?

Und in deinem letzten Schritt schreibst du, das es die umgekehrte Umformung wie oben mit m ist. Diesen Schritt kann ich gerade nicht nachvollziehen.

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Im letzten Schritt sagst du, dass alle vorderen Faktoren vergrößert werden, jedoch verstehe ich nicht was du damit meinst? Meinst du damit, das 1-1/n größer 1-1/m ist?

genau: 1-1/10 > 1-1/5

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Nein ich verstehe nicht was du mit "da die vorderen Faktoren alle vergrößert werden" meinst.

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m≤n steht in der Aufg

(1-1/m) ≤(1-1/n)

(1-2/m)≤(1-2/n)   usw, was rechts steht, ist immer ≥

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Achso, du meintest mit den vorderen Faktoren, die die am Anfang der Ungleichung stehen, oder?

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jetzt in Farbe!

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Vielen vielen lieben Dank Helmus für deine Mühe.

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Hallo Helmus,

Kann es sein, das du bei deinem letzten Schritt einen Fehler gemacht hast oder kann ich diesen nur nicht nachvollziehen?

=m(1-1/m) (1-2/m)... 

Hier hast du m ausgeklammert, jedoch ist hast du das m nicht in den weiteren Schritten ergänzt. Übersehe ich hier etwas?

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richtig, es muss heißen m/m*(1-1/m) (1-2/m)...

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Hallo Helmus,

Aber dennoch dürftest du dann trotzdem nicht (1-1/m)(1-2/m) schreiben, oder? Könntest du bitte erläutern wie du auf diesen Schritt gekommen bist, weil ich das gerade nicht nachvollziehen kann.

Denn dann würde man ja aus einer Differenz die Variable m kürzen, was ja nicht möglich ist.

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im Zähler steht:

m(m-1)...(m-k+1)       Jetzt m aus jedem Faktor einmal ausklammern!

=m^k*(1-1/m)(1-2/m)...

Im Nenner steht       m*m*....m=m^k        Kürzen!

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Ja genau, aber wenn man m^k kürzt, dann verschwindet m^k aus dem Zähler und aus dem Nenner. Daher kann man dann doch nicht (1-2/m), usw. schreiben, weil es ja aus dem Nenner rausgekürzt wurde.

Oder ich übersehe hier etwas elementares

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Edit: Du hattest Recht, ich hab es einfach nicht verstehen wollen. Vielen Dank für deine Mühe