Komplexe Zahlen. Beweise: Für alle z, w≠0 gilt: |z+w|= |z|+|w| ⇔ z/w >0

Question

Aufgabe:

Seien z, w ∈ C. Dann gilt:

Für alle z, w≠0 gilt:  |z+w|= |z|+|w| ⇔ z/w >0

Problem/Ansatz:

Habe leider keinen Plan, wie ich das beweisen soll.

Vielen Dank :D

Comments

Vermutlich musst du ergänzen, dass z/w reell ist.

Answer 1

Woher der Tag und die Überschrift "komplexe Zahlen"?

Wie habt ihr denn die Ordnungsrelation über den komplexen Zahlen definiert?

Comments

Wir hatten eigentlich keine Ordnungsrelation. Hatte aber eben vergessen was in der Aufgabe oben zu definieren.

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In C ist ohne genauere Definition der Ordnungsrelation

Für alle z, w≠0 gilt:  |z+w|= |z|+|w| ⇔ z/w >0

Quatsch.

Du musst erst definieren, welche Teilbereiche der komplexen Zahlenebene grösser als 0 sind.

Answer 2

Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition. Wenn zwei komplexe Zahlen z und w addierte werden, entsteht in der Zahlenebene ein Dreieck, das aus den Zeigern z, w und z+w gebildet wird.

Es gilt die Dreiecksungleichung |z+w|<|z|+|w|. Wenn die drei Eckpunkte auf einer vom Ursprung ausgehenden Halbgeraden liegen, wird die Ungleichung zur Gleichung |z+w|= |z|+|w|.

Dann gilt, dass zu allen drei komplexen Zahlen der gleiche Winkel gehört. Damit ist z=k·w, wobei k eine positive reelle Zahl ist. k=z/w>0

Die Größer-Relation ist sinnvoll, da k reell ist.