Ungleichung Betrag Ix+1I + Ix-1I < 5

Question

bei dieser Ungleichung gibt es zwei Beträge, also müssen 4 Fallunterscheidungen durchgeführt werden. Jedoch komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. Nachdem alle Fallunterscheidungen durchgeführt sind, muss man ja für alle ein Intervall aufschreiben und die Vereinigungsmenge von allen ist die Lösung. Ich verstehe aber nicht warum das richtige Intervall bei 5/2 endet, da in der 4. Fallunterscheidung schon bei -1 Ende ist. Also hätte ich gesagt, dass hier (-5/2 ; -1) rauskommt und nicht (-5/2 ; 5/2).

Answer 1

Ix + 1I + Ix - 1I < 5

 

Für x <= -1

-(x + 1) + (-(x - 1)) < 5
x > -2.5

-2.5 < x <= -1

 

Für -1 <= x <= 1

(x + 1) + (-(x - 1)) < 5

immer erfüllt.

-1 <= x <= 1

 

Für x >= 1

(x + 1) + (x - 1) < 5

x < 2.5

1 <= x < 2.5

 

Daher ist die gesamte Lösungsmenge

-2.5 < x <= 2.5

Comments

@ Mathecoach:

Wieder mal ein Genuss - irgendwann lerne ich durch Dich auch das systematische Vorgehen bei Ungleichungen mit Betrag!

---

Dankeschön

Das ist ja eine andere Vorgehensweise als meine. Ich hab das bis jetzt nur so gelernt, dass man für alle Beträge die verschiedenen Fälle durchgeht. Hier wurden jetzt aber  alle Fälle für x direkt berechnet. Also x <= -1 , -1 <= x <= 1 , x >= 1

Wie ist denn da genau der Ansatz, wie komme ich darauf? Ist mein Lösungsweg/ansatz jetzt grundsätzlich falsch?

Answer 2

hallo ! :-)

nein, dein ansatz ist alles andere als falsch, ganz im gegenteil:
du hast das prinzip richtig erkannt, wie man diese
aufgabe systemantisch löst. dein ansatz ist völlig in ordnung!

genau so macht man das! :-)
leider hast du das zwischenergebnis für den zweiten fall,
das leider teilweise falsch ist, nicht berücksichtigt.

für den zweiten fall erhalten wir.
x ≥ -1
x < 1
-1 <= x < 1, oder [-1,1) welche auswirkung das hat, siehst du gleich,

denn dann bekommst du als vereinigungsmenge der teillösungen
(1, 2.5] ∪ [-1,1) ∪ {} ∪ (-2.5, -1) =
(-2.5, -1) ∪ [-1,1) ∪ (1, 2.5] =
(-2.5, 1) ∪ (1, 2.5]
da die vereinigung dieser beiden offenen mengen wieder eine offene
menge ergibt, können wir die lösung nicht als die menge (-2.5, 2.5]
schreiben, denn die 1 ist dort nicht enthalten.
sondern, wir schreiben sie z.b. (-2.5, 1) ∪ (1, 2.5] =

(-2.5, 2.5] \ {1}

oder

(-2.5 < x < 1) oder (1 < x <= 2.5)



alles klar?
:-)

Comments

vielen dank, jetzt ist es schon etwas klarer.

Aber ich versteh nicht warum im 2.Fall x ≥ -1. Wieso nicht x>1 ?

Ich löse ja x+1>0 , also ist doch x > -1 . wie kommt da aufeinmal das ≥ hin?

Also verstehe ich das richtig, dass nicht nur meine Lösung (-2,5;-1, wo ich inzwischen verstanden habe wieso)falsch ist, sondern auch die angegebene Lösung (-2,5;2,5) falsch ist, weil hier nicht beachtet wird, dass die 1 ausgeschlossen ist?

---

x ≥ 1 ganz einfach weil das die definition des betrags hergibt https://de.wikipedia.org/wiki/Betragsfunktion#Definition

hast du also einen betrag, z.b. |x+1| musst du die zwei fälle unterscheiden:

x+1 ≥ 0 ⇒ |x+1| = x+1

und

x+1 < 0 ⇒ |x+1| = -x-1

okay?

bis auf  diese "kleinigkeit" hast du prinzipiell alles richtig gemacht. :-)

---

Warum soll denn die 1 ausgeschlossen sein? 2 + 0 < 5  ist wahr - oder?

---

ja, 2 + 0 < 5 ist wahr. kommt das x drin vor? ;-)

---

Für  x = 1 steht da  2 + 0 < 5, also gehört die 1 zur Lösungsmenge.

---

wir meinen doch beide den zweiten fall, stimmt's?
die bedingungen sind:
x >= -1 und x < 1
die 1 gehört in dieser teillösung(fall 2.) nicht dazu.

---

Gemeint ist die gesamte Lösungsmenge.

---

die lösungsmenge ist die vereinigungsmenge der lösungen der einzelnen fälle und in keinem der fälle ist die 1 enthalten.

---

Dann erkläre doch mal, warum die Ungleichung für  x = 1  erfüllt ist aber die 1 nicht zur Lösungsmenge gehören soll.

---

sorry wegen der verwirrung!

ich habe deine teillösungen benutzt und zu spät gemerkt dass sie falsch sind.

du hast recht, die 1 gehört mit dazu. ich fasse das noch einmal zusammen, hoffentlich fehlerfrei:

1. fall
bedingungen: x >= -1 und x >= 1
lösung: x < 2.5
aus den bedingungen und der lösung wird die
gemeinsame schnittmenge gebildet: 1 <= x < 2.5
[1, 2.5)

2. fall
bedingungen: x >= -1 und x < 1
lösung: 2 < 5
gemeinsame schnittmenge -1 <= x < 1
[-1, 1)

3. fall
gemeinsame schnittmenge {}

4. fall
x < -1 und x < 1
lösung  x > -2.5
gemeinsame schnittmenge -2.5 <= x < 1
(-2.5, 1)

lösungsmenge:
[1, 2.5) ∪ [-1, 1) ∪ (-2.5, 1) =
(-2.5, 2.5)

---

Das ist auch nicht richtig. Warum soll denn -2.5 zur Lösungsmenge gehören?

---

ja, hab ich auch gerade gemerkt, aber ich habe hier nur 5 min zeit für die korrektur.

man, was für ein kacktag!

---

@Anonym: (-2.5, 2.5) mit runden Klammern ist ein offenes Intervall. Eckpunkte gehören nicht zum Intervall.

---

1. fall
bedingungen: x >= -1 und x >= 1
lösung: x < 2.5
aus den bedingungen und der vorläufigen lösung wird die
gemeinsame schnittmenge 1 <= x < 2.5
[1, 2.5)

2. fall
bedingungen: x >= -1 und x < 1
1. fall
bedingungen: x >= -1 und x >= 1
lösung: x < 2.5
aus den bedingungen und der lösung wird die
gemeinsame schnittmenge gebildet: 1 <= x < 2.5
[1, 2.5)

2. fall
bedingungen: x >= -1 und x < 1
lösung: 2 < 5
gemeinsame schnittmenge -1 <= x < 1
[-1, 1)

3. fall
gemeinsame schnittmenge {}

4. fall
x < -1 und x < 1
lösung  x > -2.5
gemeinsame schnittmenge -2.5 < x < 1
(-2.5, 1)

lösungsmenge:
[1, 2.5) ∪ [-1, 1) ∪ (-2.5, 1) =
(-2.5, 2.5)

so gefällt mir das bisher, als hoffentlich letzte näherung :D der lösung bisher am besten! :-)

---

@Lu: er hat recht, ich hatte da nen fehler drin, konnte aber nicht mehr alles vollständig editieren.