Huhu!
|x - 1| > 4/(x+2)
1
x + 2 > 0
(x + 2) |x-1| > 4
1a
x - 1 > 0
(x + 2)(x - 1) > 4
1b
x - 1 < 0
(x + 2)(1 - x) > 4
2
x + 2 < 0
(x + 2) |x-1| < 4
2a
x - 1 > 0
(x + 2)(x - 1) < 4
2b
x - 1 < 0
(x + 2)(1 - x) < 4
Das ist im Grunde das, was du gepostet hast.
Ich kann keinen Fehler sehen.
Wenn du keine weitere Rechnung präsentierst, wie sollen wir dann wissen, was dein Fehler ist?!
1a
x + 2 > 0 ⇒ x > -2 Bedingung 1
x - 1 > 0 ⇒ x > 1 Bedingung 2
(x + 2)(x - 1) > 4
x^2 - x + 2x - 2 > 4
x^2 + x - 6 > 0
Für x^2 + x - 6 = 0 liefert die pq-formel: x = -3 oder x = 2
Wir erhalten die Lösungen x < -3 oder x > 2
Wir bilden die gemeinsame Schnittmenge aud den Bedingungen x > -2 und x > 1 und
den Lösungen x < -3 oder x > 2:
(x > -2 ∩ x > 1 ∩ x < -3) ∩ (x > -2 ∩ x > 1 ∩ x > 2) =
∅ ∩ x > 2 =
x > 2
Das ist unsere Lösung für Fall 1a.
1b
x + 2 > 0 ⇒ x > -2 Bedingung 1 (wie 1a)
x - 1 < 0 ⇒ x < 1 Bedingung 2
Hier sehen wir bereits, dass die gemeinsame Schnittmenge die leere Menge ist
und brauchen daher nichts weiter zu berechnen.
x = ∅
Das ist unsere Lösung für Fall 1b.
2a
x + 2 < 0 ⇒ x < -2 Bedingung 1
x - 1 > 0 ⇒ x > 1 Bedingung 2
Auch hier ist die gemeinsame Schnittmenge die leere Menge,
wir brauchen nicht weiterrechnen.
x = ∅
Das ist unsere Lösung für Fall 2a.
2b
x + 2 < 0 ⇒ x < -2 Bedingung 1 (wie 2a)
x - 1 < 0 ⇒ x < 1 Bedingung 2
(x + 2)(1 - x) < 4
x - x^2 + 2 - 2x < 4
-x^2 - x - 2 < 0
x^2 + x + 2 > 0
Für x^2 + x + 2 = 0 liefert uns die pq-Formel im Reellen keine Lösung.
Weil aber x^2 + x + 2 > 0 gelten muss, können wir für x jede beliebige reelle Zahl einsetzen.
Das erkennen wir, wenn wir aus x^2 + x + 2 die Scheitelpunktform bilden: (x - (-1/2))^2 + 7/4
oder uns einfach den Graphen plotten.
Kurzum, für x^2 + x + 2 > 0 erhalten wir also die Lösung
x = ℝ.
Wir bilden die gemeinsame Schnittmenge aus den Bedingungen x < -2 und x < 1 und aus der Lösung x = ℝ:
(x < -2 ∩ x < 1 ∩ x = ℝ) =
x < -2
Das ist unsere Lösung für Fall 2b.
Damit haben wir die vier möglichen Fälle abgearbeitet.
Um die gesuchte Lösung der Ungleichung zu erhalten, die die Lösungen der vier Fälle beinhalten muss, bilden wir aus den Teillösungen 1a, 1b, 2a, 2b die Vereinigungsmenge:
x > 2 ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ x < -2 =
x < -2 ∪ x > 2
