Taylorreihenentwicklung in 0 für Arkussinus?

Question

Ich soll zeigen, dass:$$\arcsin(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1} \quad \text{für } x\in (-1,1)$$ 

Meine Idee:

Es ist \(\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) für \(x\in (-1,1)\). Es gilt nun nach der binomischen Reihe, dass:$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-1/2}=\sum_{k=0}^{\infty}{\begin{pmatrix} -1/2\\ k \end{pmatrix}}(-x^2)^k=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^k\begin{pmatrix} -1/2\\ k \end{pmatrix}}x^{2k}\overset{(*)}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(2k)!}{4^k(k!)^2}x^{2k}$$ Die Umformungen in \((*)\) erspare ich mir hier zu notieren, es stimmt aber auf jeden Fall. Wie kann ich das  jetzt auf die Frage zurückführen? Ich könnte gliedweise integrieren, aber kann ich hier wirklich die "Pünktchen-Notation" verwenden und nur einige Reihenglieder von \(\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(2k)!}{4^k(k!)^2}x^{2k}\) aufschreiben? Die Funktion zu integrieren ist zumindestens keine Option.

Habt ihr eine Idee/Denkanstoß?

Answer 1

Es ist \(\arcsin(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\)

Warum?

Die Funktion zu integrieren ist zumindestens keine Option.

Warum nicht?

Comments

ich meine natürlich \(\arcsin'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}\).

Warum nicht?

Darf ich einfach gliedweise integrieren? Ich dachte, dass ich folgendes machen muss:$$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  \, dx=\sum _{k=0}^{\infty }\int_{}^{}\frac{(2k)!}{4^k(k!)^2}x^{2k}\, dx$$ und das geht nicht.

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Nevermind, ich habe es. Ich hatte was vertauscht.

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Sieh die Reihe als Folge von Funktionen an. Die Reihe bis unendlich auswerten bedeutet quasi nur den (punktweise) Grenzwert dieser Folge nehmen. Weißt du, was gleichmäßige Konvergenz bedeutet? Falls ja, mach dir klar, wieso gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass man Grenzwert und Integral vertauschen darf (das, was du da quasi machst).

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Aloha :)

So lange du dich innerhalb des Konvergenzradius bewegst, darfst du unendliche Reihen summandenweise ableiten und integrieren.