Frage zu einer Aufgabe bei quadratischen Funktionen.

Question

Aufgabe:

… Verschiebe die quadratische Funktion ; f(x)= -2x^2 + 6x so das der Scheitel auf der y-Achse ist.

Problem/Ansatz:

Nun bin ich am überlegen, wie am besten vorgehe

Answer 1

Hallo Timur,

Du kannst eine Funktion horizontal um einen Wert \(t\) verschieben, indem Du für \(x\) ein \((x-t)\) einsetzt. Wenn bei einer Parabel der Scheitel auf der Y-Achse liegt, so ist sie symmetrisch zu derselben. Also dürfen in der Funktionsgleichung nur bei geradzahlige Exponenten die Koeffizienten ungleich 0 sein. Im Klartext - sie muss die Form \(f(x)=ax^2+c\) haben. Der Scheitel Deiner Funktion liegt bei \(x_s=3/2\). Frage bitte nach, wenn Du nicht weißt wieso!

Damit ist der Wert \(t=-3/2\); Einsetzen in \(f(x)\) gibt:$$\begin{aligned} f_v(x) &= -2\left(x+\frac 32\right)^2 + 6\left(x+\frac 32\right) \\ &= -2x^2 -6x - \frac 92 + 6x + 9 \\ &= -2x^2 + \frac {9}2\end{aligned}$$Der Plot sieht so aus:

~plot~ -2x^2+6x;-2x^2+9/2;[[-6|6|-2|6]] ~plot~

die rote Funktion ist die verschobene \(f_v(x)\).

Gruß Werner

Answer 2

Überführe die Funktion in die Scheitelpunktform

y = - 2·x^2 + 6·x
y = - 2·(x^2 - 3·x)
y = - 2·(x^2 - 3·x + 2.25 - 2.25)
y = - 2·(x^2 - 3·x + 2.25) + 4.5
y = - 2·(x - 1.5)^2 + 4.5

Der Graph kann also um 1.5 nach links verschoben werden und hätte dann den Scheitel auf der y-Achse.

Verschiebt man den Graphen dann noch um 4.5 Einheiten nach unten befindet sich der Scheitel im Ursprung.

Answer 3

Da in der Aufgabe nicht konkret verlangt ist, WO auf der y-Achse der Scheitelpunkt sein soll, kannst du als verschobene Parabel auch y=-2x² nehmen.

PS: Ich sehe gerade, dass auch der Mathecoach die Möglichkeit dieser Variante genannt hat.