Partielle Ordnung Beweis

Question

Aufgabe:

Mit R◦R wird die Verkettung einer binären Relation auf einer Menge M bezeichnet. R◦R enthält genau die Paare (a,c) ∈ M ×M, für die ein b ∈ M mit (a,b) ∈ R und (b,c) ∈ R existiert. Zeigen Sie: Ist R eine partielle Ordnung auf einer Menge M, dann ist auch R◦R eine partielle Ordnung auf M.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass eine parteille Ordung zustande kommt, wenn die Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Mir fehlt für diese Aufgabe allerdings der Ansatz, wie man das beweißt.

Answer 1

Reflexivität

Sei a ∈ M. Gib ein b ∈ M an, so dass (a,b) ∈ R und (b, a) ∈ R ist.

Antisymmetrie

Seien a,b ∈ M mit (a,b) ∈ R◦R und a≠b. Angenommen (b, a) ∈ R◦R.

Sei dann c ∈ M mit (b,c) ∈ R und (c,a) ∈ R. Leite daraus einen Widerspruch ab.

Transitivität

Seien a,b,c ∈ M mit (a,b) ∈ R◦R und (b,c) ∈ R◦R. Verwende die Transitivität von R um zu zeigen, dass (a,c) ∈ R◦R ist.