Finde keinen Vektor v2, der im Lösungsraum beider Gleichungen liegt. x+y+z=0, x-z=0

Question

Aufgabe:

Finden Sie eine Basis v₁, v₂, v₃ des R^3, so dass v₁, v₂ im Lösungsraum von x+y+z=0 und v₂, v₃ im Lösungsraum von x-z=0 liegen.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich keinen Vektor v2 finde, der im Lösungsraum beider Gleichungen liegt (außer der Nullvektor, aber der kann ja keine Basis bilden ).

Answer 1

Die beiden Gleichungen beschreiben jeweils eine Ebene. Wenn \(v_2\) sowohl in der einen als auch in der anderen liegen soll, so liegt er in Richtung der Schnittgeraden dieser beiden Ebenen. Also$$v_2 = \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ -1\end{pmatrix}$$Und \(v_1\) soll in der ersten Ebene \(x+y+z=0\) liegen und nicht mit \(v_2\) kollinear sein. Für \(v_3\) gilt das entsprechen für \(x-z=0\) - also:$$v_1 = \begin{pmatrix}-1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \quad v_3= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$

Comments

Schön geometrisch erklärt. Ich habe wild drauf los probiert. :-)

Wenn du jetzt noch "\vec{v_1}" usw. schreibst, sieht es noch besser aus.

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Also muss y bei v3 und v2 nicht zwingend 0 sein. Denn dann hätte ich meinen Denkfehler gefunden.

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Wenn y beide Male 0 ist, wären v_2 und v_3 ja linear abhängig.

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Wenn du jetzt noch "\vec{v_1}" usw. schreibst, sieht es noch besser aus.

... das mache ich immer so, wie der Fragesteller es vorgibt. Schreibt er oder sie die Vektoren mit Pfeil, so mache ich es auch, wenn nicht, dann nicht. Hier also ohne Pfeil!

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Also muss y bei v3 und v2 nicht zwingend 0 sein.

Nö - wieso denn? zwingend ist nur, dass \(v_2\) beide(!) Gleichungen erfüllt. Da sind also zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. Eine darfst Du Dir aussuchen - z.B.: \(z=-1\) und die anderen beiden ausrechnen - so kommst Du zu \(v_2\). Die anderen beiden Vektoren habe ich via Kreuzprodukt mit den Normalvektoren und \(v_2\) berechnet.

Die drei Vektoren stehen daher auch noch orthogonal zu einander.

Answer 2

Wegen der zweiten Bedingung müssen beim zweiten Vektor x und z gleich sein. Die erste Bedingung bewirkt, dass der Wert von y=-2x=-2z sein muss.

Beispiel:

\(\vec{v_1}=\begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix} ; \vec{v_2}=\begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} ;\vec{v_3}=\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}  \)

Die Determinante ist gleich -12, also ungleich 0.

PS: Nach einigen Vorzeichenfehlern endlich richtig.