Nullstellen komplexer Polynome berechnen

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie alle Nullstellen der folgenden komplexen Polynome. Geben Sie die Lösungen in kartesischen Koordinaten z=x+i·y an.

a) p(z)=z²-i·z+(\( \frac{-1}{4} \)+i·\( \frac{1}{4} \))

b) q(z)=z^3+5z^2+11z+7
Problem/Ansatz:

Bei Aufgabe a) habe ich das Problem, dass ich auf die Nullstellen z1=(\( \frac{i}{2} \))+\( \sqrt{\frac{-i}{4}} \) und z2=(\( \frac{i}{2} \))-\( \sqrt{\frac{-i}{4}} \) komme. Der Taschenrechner sagt jedoch für z1 zum Bsp: z= (\( \frac{i}{2} \))+\( \sqrt{(-i/2)^2 +((1-i)/4)} \) .Allerdings ist der nur auf den reellen Zahlenbereich eingestellt und kann daher nicht die Vereinfachung von i^2= -1 nutzen. Was gilt nun?

Und bei b) bin ich mir unsicher wie ich mit dem letzten Teil (also dem +7) umgehen soll. Kann ich hier die Polyomdivision anwenden?

:)

Answer 1

Quadratische Ergänzung liefert$$(*)\qquad\left(z-\tfrac12\mathrm i\right)^2=-\tfrac14\mathrm i.$$Gesucht ist also eine komplexe Zahl \(u+v\mathrm i\), deren Quadrat gleich \(-\tfrac14\mathrm i\) ist. Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich führt auf das nichtlineare Gleichungssystem$$\qquad(1)\quad u^2-v^2=0\\\qquad(2)\quad2uv=-\tfrac14.$$Eine Lösung ist \(u=\tfrac14\sqrt2\land v=-\tfrac14\sqrt2\). Damit wird (*) zu$$\left(z-\tfrac12\mathrm i\right)^2=\left(\tfrac14\sqrt2-\tfrac14\sqrt2\mathrm i\right)^2.$$Für die Lösungen gilt demnach$$z_{1;2}-\tfrac12\mathrm i=\pm\left(\tfrac14\sqrt2-\tfrac14\sqrt2\mathrm i\right).$$Nun nur noch nach Real- und Imaginärteil sortieren.

Answer 2

Zum Taschenrechner:

Tipp: Nutze https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3%2B5z%5E2%2B11z%2B7+%3D+0

Auf die zweite alternate form kommst du z.B. mit Hilfe einer Polynomdivision. Dann z.B. quadratische Ergänzung benutzen.

Danach hast du

 

Comments

danke für die Antwort. Aber was ist mit a)? Laut dem Rechner von dem Link den du mir geschickt hast, ist mein Ergebnis falsch... aber wo liegt der Fehler? 

Answer 3

Aufgabe 1)

Meine Berechnung: