Wir sollen zeigen dass h(x) := max {f(x),g(x)} stetig ist, wenn f und g stetig sind.

Question

Aufgabe:

Sei D ⊆ ℝ und seien f,g : D → ℝ stetig. Definiere h : D → ℝ durch h(x) := max {f(x),g(x)}. Zeigen Sie, dass h stetig ist.

Wie soll man folgende aufgabe lösen? Zeigen Sie, dass h stetig ist, wenn f und g stetig sind.

Und wie wird Stetigkeit definiert?

Answer 1

Stetigkeit ist folgendermaßen definiert:
Eine Funktion f heißt stetig in einer Stelle x₀, wenn gilt:
∀ε>0∃δ>0: |x-x₀|<δ ⇒ |f(x)-f(x₀)| < ε

Es gibt für einen Punkt x₀ nur drei Möglichkeiten:

1.) Für ein genügend kleines δ gilt für alle x aus [x₀-δ, x₀+δ]: g(x) > f(x). Dann ist h stetig, weil g stetig ist.

2.) Für ein genügend kleines δ gilt für alle x aus [x₀-δ, x₀+δ]: f(x) > g(x). Dann ist h stetig, weil f stetig ist.

3.) Für jedes beliebig kleine δ gilt: x∈[x₀-δ, x₀[ ⇒ g(x)>f(x) und x∈]x₀, x₀+δ] ⇒ f(x)>g(x).
Betrachte die Differenzfunktion d(x) = f(x)-g(x). Sie ist stetig, weil sie die Verkettung stetiger Funktionen ist.

Aus den Bedingungen für Fall 3 folgt:
d(x) < 0 falls x∈[x₀-δ, x₀[
d(x) > 0 falls x∈]x₀, x₀+δ]

Aus der Stetigkeit von d folgt also: d(x₀) = 0, also f(x₀)=g(x₀)

Damit folgt die Stetigkeit von h auch im Fall 3, denn wegen der Stetigkeit von f und g existieren links- und rechtsseitiger Grenzwert und sie sind (wie eben gezeigt) gleich.

Answer 2

Ich selbst bin ja unverbesserlicher Anhänger von ===> Edward Nelsons NSA ; IST ( NSA = Non Standard Analysis ; IST sind seine drei Axiome. ) Ein ausgezeichnetes Lehrbuch ist beispielsweise Alain Robert bei Wiley. Ich bin allerdings der Meinung, um Missverständnisse auszuräumen, sollten wir eine Konvention beachten. Wann immer wir NSA betreiben, bleiben Großbuchstaben Standardobjekten vorbehalten; griechische stehen für inf(initesimale) Größen.

Im Folgenden muss ich mich auf das aller Nötigste beschränken.

Definition 1   ( Begrenztheit )

Eine Zahl x heiße begrenzt ( englisch: limited )   wenn

(E)  M  >  0  :  | x |  <  M       ( 1a )

Gleich hier ist einem Missverständnis vorzubeugen. Dass eine ( einzelne ) Zahl beschränkt ist ( englisch: bounded ) ist ja trivial; dass sie begrenzt ist, ist es nicht. Die Bedingung " beschränkt " wäre

(E)   m   >  0  :  | x |  <  m       ( 1b )

Ich glaube die Groß-Kleinschreibung unterstützt das Verständnis ganz wesentlich.  Nelsons Ansatz ist case sensitive; die Schwarzweißanalysis ist es nicht.
     Warum sind begrenzte Zahlen so wichtig?


       Satz 1  ( Schattensatz )

       Sei x begrenzt. Dann existiert eine eindeutige Zerlegung

 
       x =  x*  + €      ( 2a )

       x*  =:  X0  =:  Schatten ( x )   ( 2b )


     Somit ist jede begrenzte Zahl schon fast Standard.
    Jetzt benötigen wir noch etwas über stetige Funktionen:



   
     Definition 2  ( inf stetig )


     Eine Funktion y = f ( x ) heiße inf stetig in x0, falls


       f  (  x0 + € )  =  f ( x0 )  +  µ   ( 3a )


     Eine inf Änderung in x hat eine höchstens inf Änderung in y zur Folge.


    Satz 2


     y  =  F  ( x )  ist stetig in X0  <===>  F  ( x )  ist inf stetig in X0    ( 3b )


       Ferner ist noch folgendes Lemma von Bedeutung:


      Y0   =  F  ( X0 )  ist Standard    ( 4a )


         ( 2a;3ab;4a )  , also der Schattensatz zusammen mit Stetigkeit, führt aber auf


         [  F ( x )  ] *  =  F  (  x*  )     ( 4b )


     D.h.  F0  :=  F  ( X0 )  so wie G0  :=  G ( X0 )  sind Standard. Jetzt definiere ich zusätzlich noch  die Funktion


        
       D  ( x )  :=  F  ( x )  - G ( x )    ( 5 )


      Nehmen wir an  F0  <  G0  .  H  wäre nur dann unstetig in X0 , wenn es ein x gäbe, x* = X0 , mit  H  ( x ) = F0 . Dann müsste es aber nach dem Zwischenwertsatz  eine Nullstelle x0 geben mit D ( x0 ) = 0 . Ich setze noch


      F ( x0 ) =:  F0 + µ1    ( 6a )

      G ( x0 ) =:  G0 + µ2    ( 6b )


    subtraktionsverfahren ( 6a ) - ( 6b )


     D ( x0 ) = F0 - G0 + µ1 - µ2 = 0    ( 7 )


     aus dem Schattensatz folgt dann aber  F0 = G0 im widerspruch zur Voraussetzung.