Wie kommt man plötzlich von dem langen Wurzelausdruck zum Faktor |x| / 2 vor der Wurzel?

Question

Wie wurde dieser Ausdruck vereinfacht?

\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|\frac{k+2}{2^{k}} x^{k}\right|}=\frac{|x|}{2} \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{k+2}=\frac{|x|}{2} \)

Ich mache gerade Übungsaufgaben, aber verstehe nicht so ganz, wie dieser Ausdruck vereinfacht wurde. Wie kommt man plötzlich von dem langen Wurzelausdruck zu dem \( \frac{|x|}{2} \)?

Answer 1

Aloha :)

$$\sqrt[k]{\left|\frac{k+2}{2^k}\,x^k\right|}=\sqrt[k]{\left|(k+2)\frac{x^k}{2^k}\right|}=\sqrt[k]{\left|(k+2)\right|\cdot\left|\frac{x^k}{2^k}\right|}=\sqrt[k]{\left|(k+2)\right|\cdot\left|\left(\frac{x}{2}\right)^k\right|}$$$$=\sqrt[k]{\left|(k+2)\right|\cdot\left|\frac{x}{2}\right|^k}=\sqrt[k]{\left|(k+2)\right|}\cdot\sqrt[k]{\left|\frac{x}{2}\right|^k}=\sqrt[k]{\left|(k+2)\right|}\cdot\left|\frac{x}{2}\right|$$$$=\sqrt[k]{\left|(k+2)\right|}\cdot\frac{|x|}{2}$$

Answer 2

\(\sqrt[4]{|-3|^4}=|-3|=3\)

Die Wurzel ist immer der positive Wert, also der Betrag.

Answer 3

$$\lim\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]{\left|(k+2)\right|}=1$$