Uniform verteilte Zufallsvariable

Question

Aufgabe:

U sei uniform verteilt auf [0, 1]. Berechnen Sie :

(i) den Erwartungswert  (ii) die Varianz  (iii) die Verteilungsfunktion

(iv) die Dichte

von a) 3+ U^1/3
Problem/Ansatz:

Aus dem Skript weiß ich, dass für den Erwartungswert                  E[h(x)]=\( \int\limits_{l}^{r} \) h(a)*f(a) da

Nun weiß ich jedoch nicht wie ich die gegebenen Werte da einsetze. Vorallem nicht, wenn es laut Tutor heißt, dass man die Bearbeitungsreihenfolge (also: i) zuerst , iv) zuletzt) einhalten soll. Man braucht doch für die Formel da oben doch die Dichte f(a) oder?

Bei der Varianz genau das gleiche Spiel. Aus dem Skript

Var(X)=\( \int\limits_{l}^{r} \) (a - μ)² f(a) da 

bzw. Var(a + bx) = b²Var(x)

Auch hier weiß ich nicht wie ich meine Werte da einsetzen soll...

Wäre dankbar für jede Hilfe !

Answer 1

Die Dichte ist

$$  f(x)=\begin{cases}   1, & x \in [0,1] \\   0, & \text{sonst } \end{cases}  $$

Damit ergibt sich der Erwartungswert zu $$  E = \int_\infty^\infty x f(x) dx = \int_0^1 x dx = \frac{1}{2}x^2 \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} $$

Und die Varianz ergibt sich zu  $$  V = \int_{-\infty}^\infty (x - \mu)^2 f(x) dx = \int_0^1 \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 dx = \frac{1}{12} $$

Comments

Und wie hast du die a) 3 + U^1/3 mit einbezogen ? Das verstehe ich noch nicht ganz.

---

Das hab ich überhaupt nicht verstanden. Was soll das denn bedeuten?

Vergessen habe ich noch die Verteilungsfunktion. Hier gilt:

$$ F(x) = \begin{cases}   0  & \text{wenn } x < 0 \\   \int_0^x f(\xi) d\xi = x & \text{wenn } 0 \le x \le 1 \\     1 & \text{wenn } x \ge 1 \end{cases}  $$