Wahrscheinlichkeit berechnen für iid verteilte ZV

Question

Hey, könntet ihr mir vielleicht bei dieser Aufgabe helfen:

Seien $(X_i)_{i\in \mathbb{N}$ iid verteilte Zufallsvariablen mit $f(x)=2x \chi_{(0,1)}(x)$. Zeige dass $P(X_1>x)=1-x^2$ für $x\in [0,1]$.

Irgendwie verstehe ich nicht so wirklich, wie ich da rangehen könnte. Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe!

LG

Comments

Meinst du, dass die Dichte \(f(x) = 2x\chi_{(0,1)}(x)\) ist?

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Ja, genau. Danke für die Antwort. Ich weiß leider nicht, wieso das mit Latex gerade nicht funktioniert:(

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Soll das so gemeint sein

\( X_i \) sind iid verteilte Zuallszahlen mit \( i \in \mathbb{N} \) und einer Dichte \( f(x) = 2x \ \cdot \chi_{[0,1]} \) wobei \( \chi(x) \) die Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion entsprechend

https://de.wikipedia.org/wiki/Indikatorfunktion

ist.

Und zu zeigen ist $$ P( x_i > x ) = 1 - x^2 $$ gilt für \( x \in [0,1] \)

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Ja, ganz genau, vielen Dank!

Answer 1

Ich geh mal davon aus, dass die Dichte \(f(x) = 2x\chi_{(0,1)}(x)\) ist, weil das Sinn macht.

Sei nun \(x\in [0,1]\):

\(P(X>x) = 1- P(X\leq x) = 1- \int_0^x 2t\; dt\)

\( = 1 - \left[t^2\right]_0^x = 1-x^2\)

Fertig.

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Vielen Dank!

Answer 2

$$ P(x_i > x ) = \int_{x}^{\infty} f(u) du = \int_{x}^{\infty} 2u \ \cdot \chi_{[0,1]} du = \int_x^1 2u \ du = 1 - x^2   $$

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Vielen Dank für deine Hilfe!