Wie kann man diese Reihe auf Konvergenz/Divergenz überprüfen?

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}-1}{n^{3}+1} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Reihe auf Konvergenz überprüfen? Ich bin viele Tests durchgegangen:

-Vergleichskriterium hilft mir nicht weiter

-Quotientenkriterium ergibt 1

-Integraltest und Partialbruchzerlegung scheint mir zu kompliziert

Answer 1

Vergleichskriterium funzt:

\( \frac{n^{2}-1}{n^{3}+1}= \frac 1n\cdot \frac{1 - \frac 1{n^{2}}}{1+\frac 1{n^3}} > \frac 1n \frac{\frac 12}{\frac 32} = \frac 1{3}\frac 1n\) für \(n\geq 2\)

Comments

Ich kann nicht ganz folgen. Ist die Reihe konvergent oder divergent?

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Wenn du mit Reihen umgehst, solltest du unbedingt im Hinterkopf haben, dass die sogenannte "harmonische" Reihe divergent ist:

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1n =\infty\)

Wir haben also eine divergente Minorante gefunden.

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Aber die harmonische Reihe ist größer als die gegebene Reihe? Dann ist das Minorantenkrieterium nicht erfüllt oder?

a_n  = (n^2-1)/(n^3+1)

b_n  = 1/n

Text erkannt:

\( 0 \leq b_{n} \leq a_{n} \)

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"Aber die harmonische Reihe ist größer als die gegebene Reihe?"

Das ist richtig. Deshalb muss die Abschätzung etwas großzügiger ausfallen, siehe den ergänzenden Kommentar meiner Antwort.

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Beachte:
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1n = \infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac 13 \cdot \frac 1n = \infty\).

Wir schätzen für \(n\geq 2\) die Reihe wie folgt ab:

\(\sum_{n=\color{blue}{2}}^{\infty} \frac{n^{2}-1}{n^{3}+1} > \sum_{n=\color{blue}{2}} \frac 13\cdot \frac 1n = \infty\)

Dabei nutzen wir noch aus, dass eine Reihe divergent bleibt, auch wenn man endlich viele Glieder ändert oder weglässt.

Answer 2

Zähler und Nenner sind durch (n+1) teilbar.

Kommst du mit \( \frac{n-1}{n^2-n+1} \) besser zurecht?

Comments

Ne, nicht wirklich :/ Welchen Test soll ich verwenden?

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Du sollst im Vergleich mit einer abgewandelten harmonischen Reihe die Divergenz erkennen.

Das geht auch ohne die vorgeschlagene Umformung für n>1 so:

: \( \frac{n^{2}-1}{n^{3}+1} > \frac{n^{2}-0,5n^2}{n^{3}+1} > \frac{n^{2}-0,5n^2}{n^{3}+n^3}=\frac{0,5n^2}{2n^{3}}=\frac{1}{4n}\)