Reihen (auf Konvergenz bzw. Divergenz überprüfen)

Question

Aufgabe:

Es handelt sich um die folgene Aufgabenstellung: Untersuche die Konvergenz oder Divergenz folgender Reihen (kombiniere Abschätzungen und Kriterien)

i) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2+k^{2}}{3^{k}+1} \)

Abschätzung:
\( \sim \frac{k^{2}}{3^{k}} \longrightarrow \text { konvergiert} \)

Wurzelkriterium:
\( \lim \limits_{h \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2+k^{2}}{3^{k}+1}} \longrightarrow \frac{2+1}{3+1}=\frac{3}{4}<1 \Rightarrow \text { konvergiert } \)

Quotienten kriterium:
\( \begin{aligned} \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| \\ =\frac{\frac{(k+1)^{2}}{3^{k+1}}}{\frac{k^{2}}{3^{k}}}=\frac{(k+1)^{2}}{3^{k+1}} \cdot \frac{3^{k}}{k^{2}}=\frac{k^{2}+2 k+1}{3^{k} \cdot 3} \cdot \frac{3^{2}}{k^{2}} \\ &=\frac{k^{2}+2 k+1}{3 k^{2}} \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Ich hab' hier zuerst abgeschätzt und geschaut, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Dann habe ich versucht das Wurzelkriterium bzw. das Quotientenkriterium anzuwenden. Aber ich komme nicht weiter. Kann jemand bitte mit mir die Aufgabe schrittweise durchgehen?

Comments

Ja, die Reihe konvergiert und hat einen Grenzwert.

https://www.wolframalpha.com/input?key=&i=sum+%282%2Bk%5E2%29%2F%283%5Ek%2B1%29+from+0+to+infinite

Man könnte Teilsummen bilden.

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Und wie kommt man auf den Grenzwert? Wie genau soll ich da vorgehen?

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Ich glaube, dass nicht erwartet wird, dass Du die Partialsummen auswertest; sondern dass Du mit den Kriterien arbeitest.

Du hast das Quotientenkriterium richtig verarbeitet und brauchst nur noch k gegen Unendliche gehen zu lassen, was für den Quotienten 1/3 ergibt. Also liegt Konvergenz vor.

Deine beiden anderen Versuche scheinen mir eher vage.

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Wie bist du auf 1/3 gekommen? kannst du vielleicht deinen Rechenweg zeigen, damit ich's besser nachvollziehen kann. Bspw. beim Wurzelkriterium habe ich den Ausgangsterm 2+k^2/3^k+1 genommen und die k-te Wurzel davon gemacht. Das ist falsch oder? Ich muss hier zuerst abschätzen und dann den abgeschätzten term in die Wurzel packen? Also die k-te Wurzel von dem abgeschätzten Term machen, oder? Stimmt dieser Gedankengang?

Weil wenn ich den abgeschätzten Term k^2/3^k in die Wurzel rein packe, dann kommt 1/3 heraus.

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Er hat, so wie ich es verstanden habe, deinen letzten Bruch durch k^2 gekürzt, sodass dann rauskommt: (1+2/k+1/k^2)/3 und dann k gegen unendlich laufen lassen, sodass dann 1/3 rauskommt.

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Danke aki für dein Kommentar. Aber das ist ja beim Quotientenkriterium. Wie sieht's mit dem Wurzelkriterium aus? Muss ich vom abgeschätzten Term k^2/3^k die Wurzel ziehen? Denn dann kommt 1/3 heraus.

ps: Ich rechne als Übung sowohl das Quotienten als auch das Wurzelkriterium, also nicht wundern wenn hier beide Kriterien stehen.

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Jau, besser als aki hätte ich es nicht erklären können.

Zu den anderen Fragen: Du hast geschätzt, aber nicht abgeschätzt, also wäre das Ergebnis nicht exakt begründet

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Mathhilf, das hat noch nicht klick gemacht bei mir :D ich checks noch nicht..

Wie muss ich hier abschätzen? Und stimmt die Überlegung mit der Wurzel? Also, dass nur der abgeschätzte Term in die Wurzel kommt?

Answer 1

Hallo,

ich schreib das mal als Antwort auf.

Wenn für hinreichen große k gilt

$$\sqrt[k]{|a_k|}=\sqrt[k]{\frac{2+k^2}{3^k+1}} \leq q <1$$

dann konvergiert die Reihe. Diese Wurzel kann man nicht ausrechnen. Man kann aber versuchen, durch eine Abschätzung die Bearbeitung zu vereinfachen, auf Standard-Wissen zurückführen. Jetzt kommt es darauf an, ob man versucht, auf Konvergenz hinzuarbeiten oder auf Divergenz. Das kann man vorher nicht wissen. Man muss mit einem Versuch anfangen, sagen wir Konvergenz. Dann kann man nach oben abschätzen, für \(k>1\):

$$\sqrt[k]{|a_k|}=\sqrt[k]{\frac{2+k^2}{3^k+1}} \leq \sqrt[k]{\frac{k^2+k^2}{3^k}}=\frac{\sqrt[k]{2}\sqrt[k]{k}^2}{3} \to \frac{1}{3}$$

Dabei benutzt man die Info, dass die Faktoren im Zähler gegen 1 konvergieren.

Deine erste Idee, dass \(a_k \approx k^2/3^k\) ist auch richtig und wird auch mit ein wenig Erfahrung richtig verstanden; ob Du dafür in einer Klausur Punkte bekommst, weiß ich nicht.

Gruß Mathhilf

Comments

Endlich! Vielen vielen Dank Mathhilf!! Auf diese Erklärung habe ich gewartet :D.

Ich hätte dazu noch eine Frage: Du hast ja den Zähler größer gemacht, indem du k^2 statt 2 dazugezählt hast. Muss ich das machen? Kann ich nicht den Zähler einfach so stehen lassen, also die k-te Wurzel von 2+k^2 ziehen? Das würde ja trotzdem 1 ergeben, oder nicht? Weil In der VO hat der Prof. beim Wurzelkriterium nie den Zähler oder den Nenner vergrößer/verkleinert, nur bei Minoranten und Majorantenkriterium.

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Wie kannst Du die k-te Wurzel aus 2+k^2  "ziehen"?

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Mit wurzel ziehen meine ich einfach die k-te Wurzel aus 2+k^2 berechnen, also k-te wurzel aus \( \sqrt[k]{(2 + k^2)} \) = 1 . Da k^2 schneller steigt, kommt insgesamt 1 heraus im Zähler. So bin ich immer vorgegangen. Ist die Überlegung falsch?

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Also die Gleichung \(\sqrt[k]{2+k^2}=1\), wie Du es aufgeschrieben hast, ist ja falsch. Ob man die Aussage

$$\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{2+k^2}=1$$

als trivial gelten lässt, hängt vom Wissen der Beteiligten ab.

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Also wäre dieser Audruck \lim\limits_{k\to\infty}\( \sqrt[k]{2+k²} \) = 1 falsch?

So wie du das gerechnet hast, macht eigentlich mehr Sinn und ich hab's auch so verstanden. Ich orientiere mich an dir.

Noch eine Frage: Wie erkenne ich ob ich richtig abgeschätzt habe? Warum hast du hier das Majorantenkriterium gewählt? Warum nicht Minorantenkriterium? Ich könnte ja rein theoretisch auch das Minorantenkriterium wählen, oder? Dann macht das ja keinen Unterschied, ob man nach unten abschätzt oder nach oben.