Reihen, Quotienten- & Wurzelkriterium

Question

Hallo alle zusammen!

Ich habe weitere Aufgaben zu den Reihen gelöst. Irgendwie kommen mir meine Berechnungen sehr seltsam vor, da ich einmal Divergenz und einmal Konvergenz bei unterschiedlichen Kriterien rausbekomme. Könnte jemand mal einen Blick werfen und mir erklären, was falsch ist? Wie üblich habe ich mit mehreren Kriterien gerechnet als Übung, wobei ich mir bei v) gar nicht sicher bin, ob man hier das Quotinten bzw. das Wurzelkriterium anwenden kann.

Aufgabe:

k)
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k !}{2(k-1) !+2} \)
Abschätzung:
\( \frac{k !}{2(k-1) !}=\frac{k \cdot(k-1)}{2(k-1)}=\frac{k}{2}=\frac{1}{2} k \text { ? } \)
Majorante:
\( \frac{k !}{2(k-1) !+2} \leqslant \frac{k !}{2(k-1) !}=\frac{k \cdot(k-1) !}{2(k-1) !}=\frac{k}{2}=\frac{\infty}{2} \rightarrow \infty \operatorname {k \rightarrow \infty} \)
Wurzelkriterium
\( \begin{array}{l} \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{k !}{2(k-1) !+2}} \leq \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{k \cdot(k-1) !}{2(k-1) !}}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{k}{2}} \longrightarrow \frac{1}{2} \\ \Longrightarrow \text { konvergiert } \\ \end{array} \)

v) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \frac{k^{2}-1}{2 k^{2}-k} \)
Abschätzung:
\(  \frac{1}{k} \cdot \frac{k^{6}}{2 k^{k}}=\frac{1}{2 k} \Rightarrow \text { Divergenz } \)
Minorante:
\( \frac{1}{k} \frac{k^{2}-1}{2 k^{k}-k} \geqslant \frac{1}{k} \frac{k^{2}-\frac{1}{2} k^{2}}{2 k^{2}}=\frac{1}{k} \frac{\frac{1}{2} k^{2}}{2 k^{2}}=\frac{1}{4 k} \Rightarrow \text { Divergen } z \)
Wurzelkriterium
\( \sqrt[k]{\frac{1}{k} \cdot \frac{k^{k}-1}{2 k^{2}-k}} \geqslant \sqrt[k]{\frac{1}{k} \cdot \frac{k^{k}-\frac{1}{2} k^{2}}{2 k^{2}}}=\sqrt[k]{\frac{1}{k} \cdot \frac{\frac{1}{2} k^{2}}{2 k^{2}}} \Rightarrow \frac{1}{4} \Rightarrow k_{\text {onvergenz }} \)
Quotientenkriterium
\( \frac{\frac{1}{k+1} \cdot \frac{(k+1)^{2}-1}{2(k+1)^{2}-(k+1)}}{\frac{1}{k} \cdot \frac{k^{2}-1}{2 k^{2}-k}}=\frac{1}{k+1} \cdot \frac{(k+1)^{2}-1}{2(k+1)^{2}-(k+1)} \cdot k \frac{\left(2 k^{2}-k\right)}{k^{2}-1} \)

Answer 1

Wurzekkrit. bei k mit Fehler

\(\begin{array}{l} \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{k !}{2(k-1) !+2}} \leq \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{k \cdot(k-1) !}{2(k-1) !}}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\frac{k}{2}} \longrightarrow \frac{1}{2} \\ \ \\ \end{array} \) (Nein 1 )

k-te Wurzel 2 geht gegen 1, also Grenzwert nicht 1/2 sondern 1.

Divergente Majorante bringt nix. Summe könnte trotzdem konvergieren.

Aber wegen 2(k-1)! + 2 < 3(k-1)! gilt

\(  \frac{k !}{2(k-1) !+2}  >  \frac{k !}{3(k-1) !} =   \frac{k }{3} \)

Damit bekommst du eine divergente Minorante, also gegebene Summe divergent.

Comments

Um ehrlich zu sein, habe ich das noch nicht wirklich gecheckt. Hab doch noch ein paar Fragen: Wie hätte ich hier erkennen sollen, ob Majorante oder Minorante? Warum kann hier die Summe trotzdem konvergieren? Und warum ist sie divergent? Damit die Reihe divergiert, muss da nicht sowas wie \( \frac{1}{k} \) stehen?

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Hast du eine konvergente Majorante, dann konvergiert deine

Reihe auch. Hast du umgekehrt eine divergente

Minorante, dann divergiert deine Reihe auch.

Damit die Reihe divergiert, muss da nicht sowas wie \( \frac{1}{k} \) stehen?

Wenn die Reihe mit \( \frac{1}{k} \) (harmonische Reihe)  eine

Minorante zur gegebenen Reihe ist, dann divergiert die gegebene

Reihe auch, da die harmonische Reihe divergiert.

Wenn sogar die Reihe mit   \( \frac{k}{3} \)

(die divergiert ja, weil die Summanden noch nicht einmal

gegen 0 gehen) eine Minorante ist, dann divergiert die

gegebene Reihe auch.

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Stimmt! Habe paar Dinge oben verwechselt. Aber was noch unklar ist: Bei der Abschätzung hatte ich ja 1/2 k. Was sagt das aus? Deutet das auf Divergenz hin? Weil wie hätte ich denn in dem Fall erkennen können, ob Divergenz oder Konvergenz? Normalerweise wenn man vor der Berechnung eine Abschätzung macht, dann kann man schon erkennen, ob Konvergenz bzw. Divergenz, aber hier konnte ich's nicht erkennen. 1/2 * k divergiert, da für k gegen unendlich, geht die Reihe gegen unendlich und daher divergent? Ich hab das immer noch nicht ganz gecheckt, sry.

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t: Bei der Abschätzung hatte ich ja 1/2 k.

Du hast aber abgeschätzt:

Alle Summanden sind ≤  k/2 .

Was sagt das aus? Dass die Reihe bis n kleinere

Ergebnisse liefert als \(\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \)

Deutet das auf Divergenz hin? Nein!

Die Reine \(\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \) wird

zwar unendlich groß, aber weil deine Reihe kleiner Werte liefert,

könnte sie trotzdem konvergieren.

Hättest du : "Alle Summanden sind ≥  k/2 ." , dann

deutet das auf Divergenz hin !

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Ich weiß ehrlich gesagt nicht, ob ich das wirklich verstanden habe. Ich schau mir das noch einmal genauer und melde mich bei Fragen. Danke dir mathef für deine Erklärung und Geduld!