Konvergenz bzw. Divergenz von Reihen

Question

Aufgabe: Sei j ∈ ℕ. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.

a) \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{3}{4k^2-1}} \)

b) \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{10k+1}} \)

c) \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{k^j}{k!}} \)

Problem/Ansatz:

Ich stehe leider komplett auf dem Schlauch wie ich die Konvergenz bzw. die Divergenz beweisen soll.

Also bei a) ist mir klar das man da das Majorantenkriterium verwenden kann oder dieses so modifizieren kann, dass man eine Art ‚Minorante‘ erhält.

Und bei c) kann man Quotienten- oder Wurzelkriterium verwenden.

Weiter komme ich aber nicht.

Wäre sehr dankbar für eine Lösung mit Erklärung.

Danke schon mal im Voraus!

Comments

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Konvergenz_und_Divergenz_einer_Reihe_beweisen:_Konvergenzkriterien

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Hallo

du hast doch die 3 richtigen Methoden genannt, denk dran Zahlen kann man immer aus der Summe ziehen  und dann divergente Minoranten bei b) und konvergente Majoranen bei a ) finden.

Gruß lul

Answer 1

Hallo Eunnoia, deine Frage ist im Grund, ob

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}-1} \)

konvergiert.  Wir vermuten „ja“ und suchen daher eine konvergente Majorante. Diese ist

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}-2 k+1} \)

Für welche k ist die zweite Reihe „größer“ als die erste? Dann formst du den Nenner mit der binomischen Formel um, und substituierst l = k-1. Welche konvergente Majorante bekommst du?

Comments

Hmmm, 3 Tage ohne Antwort. Hast du keine Lust mehr auf deine Aufgabe?

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Okay, das wird nichts mehr.