Konvergenz einer Reihe mit Fakultät im Nenner zeigen

Question

Weiß jemand, wie man beweist, dass diese Folge konvergiert?

d)

\(  \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n) !}, \quad x \in \mathbb{R} \)

Comments

Quotientenkriterium oder (einfacher) Leibniz.

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Das ist eine Reihe (nicht einfach eine Folge)

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Das ist eine Reihe (nicht einfach eine Folge)

Eine Reihe ist eine Folge von Teilsummen. Die Schreibweise \(\sum_{k=1}^{\infty}{a_k}\) und die Bezeichnung als "Unendliche Reihe" ist m. E. ein Unwort.$$S=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum_{k=1}^{n}{a_k}}_{=:s_n}=\lim\limits_{n\to\infty}s_n$$

Wenn man die beiden Begriffe als verschiedene Entitäten ansieht, wird man doppelt lernen müssen.

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@rc: Schon klar. Man kann präziser fragen und auch die Tags so setzen. Und schon hat man auch bei den "ähnlichen Fragen" bessere Vorschläge und kann die Frage vermutlich selbst beantworten.

Kennt ihr beiden diese Potenzreihe? https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Motivation_durch_Taylorreihen

Answer 1

ohne das d (Das macht ja nichts aus.) ergibt sich mit dem Quotientenkriterium:

| a_n+1 / a_n |     (wegen Betrag spielt das (-1)^n keine Rolle.)

=  x^(2(n+1)) / (2(n+1))!    :    x^(2n) / (2n)!

=  x^2 /  ((2n+1)*(2n+2))

= x^2 / ( 4n^2 +5n + 3 )

≤  x^2 / (10n^2)   und für n>x gilt

≤ 1/10    < 1 .

Also konvergent für alle x nach Quotientenkriterium.

Comments

Warum ist denn x² / ( 4n² +5n + 3 ) ≤ x² / (10n²) ?

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Alternativer Vorschlag

x^{2} / ( 4n^{2} +5n + 3 ) ≤ x^{2} / (2n^{2}) für genügend grosse n.