Charakteristik eines Körpers: char(K)=char(K')

Question

Die Charakteristik eines Körpers char(K) eines Körpers ist die kleinste positive natürliche Zahl für die

char(K)*1 := 1+...+1=0 gilt (n Kopien von 1)

gilt. Existiert so eine Zahl nicht, definieren wir char(K)=0.

Sei K ein Körper, K'⊆K ein Unterkörper. Zeige, dass char(K) = char(K').

Wie kann man diese Aufgabe am besten lösen?

Answer 1

Bezeichne die Addition in K mit \(+_K\) und die in K' mit \(+_{K'}\). Begründe dann für jedes n ∈ ℕ

        \(\underbrace{1+_{K}1+_{K}\dots+_{K}1}_{n\text{ Summanden}}=\underbrace{1+_{K'}1+_{K'}\dots+_{K'}1}_{n\text{ Summanden}}\)

Comments

Stehe vor dem selben Problem aber die Antwort bringt mich irgendwie nicht weiter.

wenn sie das vielleicht etwas weiter ausführen könnten wäre super.

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Wenn

        \(\underbrace{1+_{K}1+_{K}\dots+_{K}1}_{n\text{ Summanden}}=\underbrace{1+_{K'}1+_{K'}\dots+_{K'}1}_{n\text{ Summanden}}\)

für jedes n ∈ℕ ist, dann ist insbesondere auc

        \(\underbrace{1+_{K}1+_{K}\dots+_{K}1}_{n\text{ Summanden}}=0 \iff\underbrace{1+_{K'}1+_{K'}\dots+_{K'}1}_{n\text{ Summanden}}=0\)

für jedes n ∈ℕ.

Dann ist char(K) = char(K').

Das \(\underbrace{1+_{K}1+_{K}\dots+_{K}1}_{n\text{ Summanden}}=\underbrace{1+_{K'}1+_{K'}\dots+_{K'}1}_{n\text{ Summanden}}\) für jedes n ∈ℕ ist, kann man mit vollständiger Induktion zeigen.