Statistik Normalverteilung Intelligenzquotient, Probe von 9 Personen

Question

Aufgabe:

Die Intelligenzquotienten von erwachsenen Deutschen sind normalverteilt mit μ = 100 und σ = 10 .  9 Personen werden getestet. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
der mittlere IQ dieser Gruppe unter 99 liegt?

Problem/Ansatz:

N(100, 10)

Ich habe bei der Tabelle der Standardnormalverteilung Z(0.1) gesucht (da 99-100/10 = 0.1), in diesem Kasten steht 0.4602.

Ich weiß leider nicht, was ich mit den 9 Personen anfangen soll...das Ergebnis sollte 0.3821 ergeben, ich komme jedoch leider nicht auf dieses Ergebnis. Vielen Dank für Ihre Hilfe!

Answer 1

die Summe normalverteilter Zufallsvariablen \( x_i \) ist wieder normalverteilt mit Mittelwert \( \sum_{i=1}^n \mu_i \) und Varianz \( \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \).

Hier gilt mit \( \mu = 100 \) und \( \sigma=10 \) $$ \mathbb{E} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) = \mu $$ und $$ \mathbb{V} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i   \right) = \frac{\sigma^2}{n}  $$ Also ist der Mittelwert \( N \left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \) verteilt.

Mit dieser Verteilung ergibt sich $$ \mathbb{P} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i   \right) \le 99 = 0.3821 $$